Меню Главная Случайная статья Настройки Модель SABR Материал из https://ru.wikipedia.org Модель SABR (stochastic alpha-beta-rho) — в финансовой математике модель динамики цен активов или процентных ставок со стохастической волатильностью следующего вида [1]: ${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}C(F_{t})dW_{t}^{F}}$ ${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}dW_{t}^{\sigma }}$ ${\displaystyle dW_{t}^{F}dW_{t}^{\sigma }=\rho dt}$ где в классическом случае ${\displaystyle C(F)=F_{t}^{\beta }}$. Для учёта теоретической возможности отрицательных ставок/цен используют также модель со смещением (shifted SABR): ${\displaystyle C(F)=(F_{t}+s)^{\beta }}$. Применяется также модель с функцией ${\displaystyle C(F)=|F_{t}|^{\beta }}$. Здесь "сигма" ${\displaystyle {\sigma }_{t}}$- это стохастический процесс волатильности (с начальным значением ${\displaystyle {\sigma }_{0}}$). Параметр "альфа" - это "волатильность волатильности" (часто его обозначают "ню" ${\displaystyle \nu }$), а "альфой" - начальное значение волатильности). Параметр "ро" - параметр локальной корреляции факторов, влияющих на цену и на волатильность. Параметр "бетта" - это параметр CEV-модели, возможные значения которой от 0 до 1. По существу такая модель является существенно обобщенной и включает в себя в качестве частных или предельных случаев некоторые другие базовые модели, например если параметр "волатильность волатильности" равен нулю, то получим так называемую CEV-модель, которая свою очередь в качестве предельных частных случае содержит нормальную модель (нулевая "бетта"), логнормальную модель ("бетта" равно 1). Также возможно рассмотрение модели с нулевой корреляцией - в таком случае обобщение "классических" моделей заключается просто в наличии некоторого разброса "сигмы", например в рамках нормальной или логнормальной модели. При моделировании процентных ставок обычно модель описывает форвардную ставку для конкретного будущего периода в соответствующей форвардной мере. Соответственно параметры аналогичных моделей для форвардных ставок разной срочности могут потенциально иметь разные значения параметров. Совместное моделирование одновременно всех форвардных ставок разных срочностей возможно, например, в рамках модели SABR-LMM. Модель позволяет объяснить так называемую улыбку вменённой волатильности в рамках модели Блэка-Шоулза или Башелье. Несмотря на то, что существуют достаточно точные аналитические подходы к оценке опционов в рамках модели SABR (при нулевой корреляции эти формулы точные), тем не менее, соответствующие формулы достаточно сложны и предполагают в том числе неоднократное численное интегрирование сложных функций. Поэтому на практике часто применяют иной подход - используют аппроксимации нормальной или логнормальной волатильности для оценки опционов стандартными формулами Блэка или Башелье. Модель была предложена в статье 2002 года четырьмя авторами - Patrick S. Hagan, Deep Kumar, Andrew Lesniewski, and Diana Woodward, где они предложили приближенные формулы для аппроксимации нормальной и логнормальной волатильности. В дальнейшем многие авторы предложили различные улучшения и альтернативные подходы к оценке, в том числе и сами авторы первоначальных формул, а также Berestickiy (2004), Henry-Labordere (2005), Objoj (2008), Paulot (2009), Le'Floch (2014) и др. Содержание 1 Формула для волатильности Блэка (логнормальной, относительной) 1.1 Общая формула аппроксимации 1.2 Формула для классической модели SABR 1.2.1 Формула преобразования волатильности Башелье в волатильность Блэка 2 Формула волатильности Башелье (нормальной, абсолютной) 2.1 Формула преобразования волатильности Блэка в волатильность Башелье 3 Примечания Формула для волатильности Блэка (логнормальной, относительной) Первая приближенная аппроксимация волитильности Блэка была выведена в 2002 году в статье четырех авторов - Patrick S. Hagan, Deep Kumar, Andrew Lesniewski, and Diana Woodward (формулу аппроксимации иногда обозначают аббревиатурой из фамилий авторов - HKLW). В дальнейшем указанная формула была исправлена/скорректирована работами Berestickiy (2004) и Obloj (2008). Ниже приводится исправленная версия формулы. Общая формула аппроксимации ${\displaystyle \sigma _{B}(F_{0}(T),K,T)=\sigma _{B}^{0}(1+a^{1}\varepsilon )+O(\varepsilon ^{2})}$ где ${\displaystyle \varepsilon =\alpha ^{2}T}$ (где ${\displaystyle T}$ - срок до экспирации опциона в годах): ${\displaystyle \sigma _{B}^{0}={\frac {\alpha \ln {\frac {F_{0}}{K}}}{\ln {\frac {{\sqrt {1-2\rho z+z^{2}}}+z-\rho }{1-\rho }}}}}$ ${\displaystyle a^{1}={\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}+1/F_{\text{mid}}^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}}$ где ${\displaystyle F_{\text{mid}}}$ некоторое среднее значение между ${\displaystyle F_{0}}$ and ${\displaystyle K}$ (обычно выбирается как среднее геометрическое ${\displaystyle {\sqrt {F_{0}K}}}$ или арифметическое среднее ${\displaystyle \left(F_{0}+K\right)/2}$). ${\displaystyle z={\frac {\alpha }{\sigma _{0}}}\;\int _{K}^{F_{0}}{\frac {dx}{C(x)}},\;\gamma _{1}={\frac {C'(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}},\;\gamma _{2}={\frac {C''(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}}$ Формула для классической модели SABR Для классического случая ${\displaystyle C\left(F\right)=F^{\beta }}$, поэтому ${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\beta }{F_{\text{mid}}}},\;\gamma _{2}=-{\frac {\beta (1-\beta )}{F_{\text{mid}}^{2}}}\;}$. Соответственно ${\displaystyle I^{1}\varepsilon =\left[{\frac {(\beta -1)^{2}\sigma _{0}^{2}}{24F_{mid}^{2(1-\beta )}}}+{\frac {\rho \alpha \sigma _{0}\beta }{4F_{mid}^{1-\beta }}}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}{\alpha }^{2}\right]T}$ Далее в общем случае ${\displaystyle z={\frac {\alpha }{\sigma _{0}}}{\frac {F_{0}^{1-\beta }-K^{1-\beta }}{1-\beta }}}$, но в предельном случае ${\displaystyle \beta =1}$ имеем ${\displaystyle z={\frac {\alpha }{\sigma _{0}}}\ln {\frac {F_{0}}{K}}}$. Но как в общем случае, так и в указанном предельном случае имеет место общая вышеприведенная формула для ${\displaystyle I^{0}}$. Однако, имеются две предельные ситуации, требующие прямого указания аналитической формулы: - для случая ATM ${\displaystyle (F_{0}=K)}$ имеем ${\displaystyle \sigma _{B}^{0}=\sigma _{0}/K^{1-\beta }}$ - для случая ${\displaystyle \alpha =0}$ имеем ${\displaystyle \sigma _{B}^{0}={\frac {\sigma _{0}(1-\beta )\ln {\frac {F_{0}}{K}}}{F_{0}^{1-\beta }-K^{1-\beta }}}}$ Крайне тривиальный для модели SABR случай, когда ${\displaystyle \beta =0,\alpha =0}$ по существу означает обыкновенную нормальную модель (модель Башелье), поэтому вышеприведенные формулы позволяют выразить логнормальную волатильность через нормальную по следующей формуле: ${\displaystyle \sigma _{B}={\sigma _{N} \over K}\left[{\frac {\ln {\frac {F_{0}}{K}}}{{F_{0} \over K}-1}}\right]\left(1+{\sigma _{N}^{2} \over 24F_{mid}^{2}}\tau \right)}$ где функция в квадратных скобках в случае ATM равна 1. Формула волатильности Башелье (нормальной, абсолютной) Для аппроксимации нормальной волатильности формулы немного отличаются: ${\displaystyle I^{0}=\alpha {\frac {{F_{0}}-{K}}{\ln {\frac {{\sqrt {1-2\rho z+z^{2}}}+z-\rho }{1-\rho }}}}}$ ${\displaystyle I^{1}={\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}}$ Для классического случая ${\displaystyle C\left(F\right)=F^{\beta }}$, величины ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2},z}$ рассчитываются аналогично. Поэтому ${\displaystyle I^{1}\varepsilon =\left[{\frac {[(\beta -1)^{2}-1]\sigma _{0}^{2}}{24F_{mid}^{2(1-\beta )}}}+{\frac {\rho \alpha \sigma _{0}\beta }{4F_{mid}^{1-\beta }}}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}{\alpha }^{2}\right]\tau }$ Тривиальный для модели SABR случай, когда ${\displaystyle \beta =1,\alpha =0}$ по существу означает обыкновенную логнормальную модель (модель Блэка), поэтому вышеприведенные формулы позволяют выразить нормальную волатильность через логнормальную по следующей формуле: ${\displaystyle \sigma _{N}=\sigma _{B}K\left[{{F_{0} \over K}-1 \over \ln {F_{0} \over K}}\right]\left(1-{\sigma _{B}^{2} \over 24}\tau \right)}$ где функция в квадратных скобках в случае ATM равна 1. Примечания В некоторых источниках ${\displaystyle \alpha }$ обозначает начальное значение сигмы (изменяющейся волатильности), а параметр "волатильность волатильности" обозначают ${\displaystyle \nu }$