Меню Главная Случайная статья Настройки Модифицированное Z-преобразование Материал из https://ru.wikipedia.org Модифицированное (смещённое) Z-преобразование — более общий случай обычного Z-преобразования, содержащее идеальное запаздывание величиной, кратной частоте дискретизации. Математически записывается как: ${\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}}$ где T — период дискретизации m («параметр смещения») — часть периода дискретизации ${\displaystyle [0,T).}$ Модифицированное Z-преобразование широко применяется в теории управления в частности для более точного моделирования систем с задержками. Содержание 1 Свойства 1.1 Линейность 1.2 Сдвиг по времени 1.3 Ослабление 1.4 Умножение аргумента 1.5 Теорема о конечном значении 2 Таблица основных преобразований 3 Пример Свойства Если параметр смещения m фиксирован, тогда все свойства модифицированного z-преобразования совпадают со свойствами обычного Z-преобразования. Линейность ${\displaystyle Z\left[\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right]=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F(z,m).}$ Сдвиг по времени ${\displaystyle Z\left[u(t-nT)f(t-nT)\right]=z^{-n}F(z,m).}$ Ослабление ${\displaystyle Z\left[f(t)e^{-a\,t}\right]=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).}$ Умножение аргумента ${\displaystyle Z\left[t^{y}f(t)\right]=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).}$ Теорема о конечном значении ${\displaystyle \lim _{k=\infty }f(kT+m)=\lim _{k=1+}F(z,m).}$ Таблица основных преобразований f(t) F(z, m) 1(t) ${\displaystyle {\frac {z}{z-1}}}$ t ${\displaystyle {\frac {zmT}{z-1}}+{\frac {zT}{(z-1)^{2}}}}$ e-at ${\displaystyle {\frac {ze^{-amT}}{z-e^{-aT}}}}$ 1 — e-at ${\displaystyle {\frac {z}{z-1}}-{\frac {ze^{-amT}}{z-e^{-aT}}}}$ sin t ${\displaystyle {\frac {z^{2}\sin {(m\omega T)}+z\sin {[(1-m)\omega T]}}{z^{2}-2z\cos {\omega T}+1}}}$ Пример Пусть оригинал для преобразования ${\displaystyle f(t)=\cos(\omega t)}$. Тогда: ${\displaystyle F(z,m)=Z\left[\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right]}$ ${\displaystyle F(z,m)=Z\left[\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right]}$ ${\displaystyle F(z,m)=\cos(\omega m)Z\left[\cos(\omega kT)\right]-\sin(\omega m)Z\left[\sin(\omega kT)\right]}$ ${\displaystyle F(z,m)=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}}$ ${\displaystyle F(z,m)={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (T-m))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}.}$ Если ${\displaystyle m=0}$, то ${\displaystyle F(z,m)}$ совпадает с Z-преобразованием: ${\displaystyle F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}}$