Меню Главная Случайная статья Настройки
Модифицированные функции Бесселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.
Бесселя
z
2
d
2
d
z
2
+
z
d
d
z
+
(
z
2
2
)
=
0
{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})\omega =0}
z
{\displaystyle \ z}
i
z
{\displaystyle \ iz}
z
2
d
2
d
z
2
+
z
d
d
z
(
z
2
+
2
)
=
0.
(
1
)
{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0.\qquad (1)}
модифицированным уравнением Бесселя .
{\displaystyle \nu }
J
(
i
z
)
{\displaystyle J_{\nu }(iz)}
J
(
i
z
)
{\displaystyle J_{-\nu }(iz)}
(
1
)
{\displaystyle (1)}
I
(
z
)
=
e
i
2
J
(
z
e
i
2
)
=
k
=
0
(
z
2
)
2
k
+
k
!
(
k
+
+
1
)
{\displaystyle I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k!\Gamma (k+\nu +1)}}}
I
(
z
)
.
{\displaystyle I_{-\nu }(z).}
модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если
{\displaystyle \nu }
{\displaystyle \nu }
K
(
z
)
=
2
sin
[
I
(
z
)
I
(
z
)
]
{\displaystyle K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2\sin \nu \pi }}{\biggl [}I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z){\biggr ]}}
(
1
)
{\displaystyle (1)}
модифицированной функцией Бесселя второго рода или функцией Макдональда . Очевидно, что
K
(
z
)
=
K
(
z
)
{\displaystyle K_{\nu }(z)=K_{-\nu }(z)}
{\displaystyle \nu }
z
{\displaystyle z}
График модифицированных функций Бесселя первого рода с различными порядками График модифицированных функций Бесселя второго рода с различными порядками
Содержание Функции целого порядка
I
(
z
)
=
I
(
z
)
{\displaystyle I_{-\nu }(z)=I_{\nu }(z)}
{\displaystyle \nu }
фундаментальной системы решений уравнения
(
1
)
{\displaystyle (1)}
I
n
(
z
)
{\displaystyle I_{n}(z)}
K
n
(
z
)
,
{\displaystyle K_{n}(z),}
K
n
(
z
)
=
lim
n
K
(
z
)
.
{\displaystyle K_{n}(z)=\lim \limits _{\nu \to n}K_{\nu }(z).}
Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования Модифицированные функции Бесселя первого рода
(
d
z
d
z
)
m
[
z
I
(
z
)
]
=
z
m
I
m
(
z
)
.
{\displaystyle \left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z^{\nu -m}I_{\nu -m}(z).}
(
d
z
d
z
)
m
[
z
I
(
z
)
]
=
z
m
I
+
m
(
z
)
.
{\displaystyle \left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z^{-\nu -m}I_{\nu +m}(z).}
I
1
(
z
)
I
+
1
(
z
)
=
2
z
1
I
(
z
)
.
{\displaystyle I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z)=2\nu z^{-1}I_{\nu }(z).}
I
1
(
z
)
+
I
+
1
(
z
)
=
2
I
(
z
)
.
{\displaystyle I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z)=2I'_{\nu }(z).}
Модифицированные функции Бесселя второго рода
(
d
z
d
z
)
m
[
z
K
(
z
)
]
=
(
1
)
m
z
m
K
m
(
z
)
.
{\displaystyle \left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=(-1)^{m}z^{\nu -m}K_{\nu -m}(z).}
(
d
z
d
z
)
m
[
z
K
(
z
)
]
=
(
1
)
m
z
m
K
+
m
(
z
)
.
{\displaystyle \left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=(-1)^{m}z^{-\nu -m}K_{\nu +m}(z).}
K
1
(
z
)
K
+
1
(
z
)
=
2
z
1
K
(
z
)
.
{\displaystyle K_{\nu -1}(z)-K_{\nu +1}(z)=-2\nu z^{-1}K_{\nu }(z).}
K
1
(
z
)
+
K
+
1
(
z
)
=
2
K
(
z
)
.
{\displaystyle K_{\nu -1}(z)+K_{\nu +1}(z)=-2K'_{\nu }(z).}
Вронскиансистемы модифицированных функций Бесселя
W
[
I
(
z
)
,
I
(
z
)
]
=
2
sin
(
)
z
.
{\displaystyle W\left[I_{\nu }(z),I_{-\nu }(z)\right]=-{\frac {2\sin(\nu \pi )}{\pi z}}.}
W
[
I
(
z
)
,
K
(
z
)
]
=
z
1
.
{\displaystyle W\left[I_{\nu }(z),K_{\nu }(z)\right]=-z^{-1}.}
Интегральные представления Модифицированные функции Бесселя первого рода
I
(
z
)
=
2
z
(
+
1
2
)
0
e
z
cos
t
(
sin
t
)
2
d
t
,
R
e
(
)
>
1
2
,
(
z
)
{\displaystyle I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\left(\sin t\right)^{2\nu }dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}},\Gamma (z)}
гамма-функция .
I
(
z
)
=
2
1
z
(
+
1
2
)
0
1
(
1
t
2
)
1
2
cosh
(
z
t
)
d
t
,
R
e
(
)
>
1
2
.
{\displaystyle I_{\nu }(z)={\frac {2^{1-\nu }z^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}\cosh(zt)dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.}
I
(
z
)
=
2
z
(
+
1
2
)
1
1
(
1
t
2
)
1
2
e
z
t
d
t
,
R
e
(
)
>
1
2
.
{\displaystyle I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}e^{-zt}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.}
I
n
(
z
)
=
1
0
e
z
cos
t
cos
(
n
t
)
d
t
,
n
Z
,
R
e
(
z
)
>
0.
{\displaystyle I_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\cos(nt)dt,\qquad n\in \mathbb {Z} ,Re(z)>0.}
Модифицированные функции Бесселя второго рода
K
(
z
)
=
0
e
z
cosh
t
cosh
(
t
)
d
t
,
|
A
r
g
(
z
)
|
<
2
.
{\displaystyle {{K}_{\nu }}(z)=\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}}\cosh(\nu t)dt,\qquad |Arg(z)|<{\frac {\pi }{2}}.}
K
(
z
)
=
(
z
2
)
(
+
1
2
)
1
(
t
2
1
)
1
2
e
z
t
d
t
,
R
e
(
)
>
1
2
,
|
A
r
g
(
z
)
|
<
2
.
{\displaystyle {{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }}}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{1}^{\infty }{{({{t}^{2}}-1)}^{\nu -{\frac {1}{2}}}}{{e}^{-zt}}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}},|Arg(z)|<{\frac {\pi }{2}}.}
K
(
z
)
=
(
z
2
)
(
+
1
2
)
0
e
z
cosh
t
(
sinh
t
)
2
d
t
,
R
e
(
)
>
1
2
,
|
A
r
g
(
z
)
|
<
2
.
{\displaystyle {{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }}}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}}{{\left(\sinh t\right)}^{2\nu }}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}},|Arg(z)|<{\frac {\pi }{2}}.}
Асимптотическое поведение
I
(
z
)
e
z
2
z
(
1
+
O
(
1
z
)
)
,
|
A
r
g
(
z
)
|
<
2
,
|
z
|
.
{\displaystyle I_{\nu }(z)\varpropto {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right),\qquad \left|Arg(z)\right|<{\frac {\pi }{2}},\left|z\right|\to \infty .}
K
(
z
)
2
e
z
z
(
1
+
O
(
1
z
)
)
,
|
z
|
.
{\displaystyle K_{\nu }(z)\varpropto {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right),\qquad \left|z\right|\to \infty .}
K
0
(
z
)
=
2
z
e
z
m
=
0
[
(
2
m
1
)
!
!
]
2
m
!
(
8
z
)
m
,
|
z
|
,
|
arg
z
|
<
/
2
{\displaystyle K_{0}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\sum \limits _{m=0}^{\infty }{\frac {\left[\left({2m-1}\right)!!\right]^{2}}{m!\left(-{8z}\right)^{m}}},\qquad \left|z\right|\to \infty ,\quad |\arg z|<\pi /2}
K
(
z
)
=
2
z
e
z
(
1
+
(
4
2
1
2
)
1
!
(
8
z
)
1
+
(
4
2
1
2
)
(
4
2
3
2
)
2
!
(
8
z
)
2
+
…
)
,
|
z
|
,
|
arg
z
|
<
/
2
{\displaystyle K_{\nu }(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}{\Bigl (}1+{\frac {\left({4\nu ^{2}-1^{2}}\right)}{1!\left(8z\right)^{1}}}+{\frac {{\left({4\nu ^{2}-1^{2}}\right)}{\left({4\nu ^{2}-3^{2}}\right)}}{2!\left(8z\right)^{2}}}+\ldots {\Bigr )},\qquad \left|z\right|\to \infty ,\quad |\arg z|<\pi /2}
Замечание См. также Литература Ватсон Г. Теория бесселевых функций. Т. 1, 2. — М.: ИЛ , 1949.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены: Справочная математическая библиотека. — М.: Физматгиз , 1966. — 296 с. Примечания
Ляхов Л.Н. О j-рядах Шлемильха. Научные ведомости. Серия "Математика. Физика". 2013. №12 (155). Вып. 31.// https://cyberleninka.ru/article/n/o-j-ryadah-shlemilha
Дж.Н. Ватсон. Теория бесселевых функций. (Книга). Глава XIX. Ряды Шлемильха
Ссылки
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}