В высшей лиге дебютировал 5 октября 1980 года в матче 26-го тура против «Зенита», выйдя на замену на 54-й минуте вместо Валерия Матюнина[1]. В 1984 году он стал обладателем Кубка СССР, в финале обыграв «Зенит»[2]. Всего за «бело-голубых» Молодцов сыграл 148 матчей и забил 17 мячей.
В 1987 году он заболел желтухой и в результате покинул клуб. После этого уехал в андижанский «Пахтакор», но не сыграв ни одного матча перешёл в «Металлург» из Запорожья. В последующие годы Александр играл во многих клубах. В 1991 году завершил карьеру в 29 лет.