Морено — воспитанник клуба «Энвигадо». В 2006 году он дебютировал за команду в колумбийской примере B. Спустя год Джованни дважды стал лучшим бомбардиром дивизиона и помог клубу выйти в элиту. В 2008 году он дебютировал за команду в Кубке Мустанга. Летом того же года Морено перешёл в «Атлетико Насьональ». Сумма трансфера составила 2,5 млн евро. 27 июля в поединке против «Онсе Кальдас» Джованни забил свой первый гол за новую команду[3]. 14 декабря 2009 года в матче против «Депортес Толима» он сделал «хет-трик»[4]. 19 апреля 2010 года в поединке против «Реал Картахена» Морено вновь сделал хет-трик[5].
Летом того же года Джованни перешёл в аргентинский «Расинг». Сумма трансфера составила 4,3 млн евро. 14 августа в матче против «Бока Хуниорс» он дебютировал в аргентинской Примере[6]. 18 сентября в поединке против «Лануса» Морено забил свой первый гол за «Расинг»[7].