Моэ — воспитанник клуба «Стейнхьер». В 2009 году он дебютировал за основной состав. В 2011 году Моэ перешёл в «Ранхейм». 3 апреля в матче против «Лов-Хам» он дебютировал в Первом норвежском дивизионе[2]. 25 апреля в поединке против «Стрёммена» Бреде забил свой первый гол за «Ранхейм»[3]. В начале 2013 года Моэ перешёл в «Русенборг». 21 апреля в матче против «Хёугесунна» он дебютировал в Типпелиге[4].
В 2014 году Иоэ на правах аренды перешёл в «Будё-Глимт». 13 апреля в матче против «Согндала» он дебютировал за новую команду[5]. 5 октября в поединке против «Стабека» Бреде забил свой первый гол за «Будё-Глимт»[6]. По окончании аренды клуб выкупил трансфер игрока. В 2016 году клуб вылетел из элиты, но Моэ остался в команде и спустя год помог команде вернуться в элиту. В 2020 году Бреде помог «Будё-Глимт» выиграть чемпионат, а через год повторил успех.