Мюлдюр — воспитанник столичного клуба «Рапид». 13 мая 2018 года в матче против «Ред Булл Зальцбург» он дебютировал в австрийской Бундеслиге[2]. В конце месяца Мерт подписал свой первый профессиональный контракт с клубом, сроком на 3 года[3]. 29 ноября 2018 года в поединке Лиги Европы против московского «Спартака» Мерт забил свой первый гол за «Рапид»[4].
Летом 2019 года Мюлдур перешёл в итальянский «Сассуоло». Сумма трансфера составила 4,5 млн. евро. 25 августа в матче против «Торино» он дебютировал в итальянской Серии A[5]. 1 июля 2020 года в поединке против «Фиорентины» Мерт забил свой первый гол за «Сассуоло»[6].
Летом 2023 года Мюлдур подписал контракт с «Фенербахче», подписав контракт на четыре года[7]. Сумма трансфера составила 2,8 млн. евро. 21 августа в матче против «Самсунспора» он дебютировал в турецкой Суперлиге[8]. 10 января 2024 года в поединке против «Коньяспора» Мерт забил свой первый гол за «Фенербахче»[9].
