Натаван Гасымова является одной из тех азербайджанских волейболисток, которая имеет опыт выступления за зарубежные клубы. В частности она в 2011 году защищала цвета трёхкратного чемпиона Италии ЖВК «Скаволини». Таким образом Натаван стала третьей азербайджанской волейболисткой, после Натальи Маммадовой и Елены Пархоменко, которая выступила в итальянской серии А[2].
22 октября 2011 года в Бакинском развлекательном центре состоялась свадьба Натаван Гасымовой с турецким волейбольным менеджером Тунджом Афшаром. При этом церемония помолвки прошла в родном городе Натаван — Нахчыване[3].
С 2002 года защищает цвета юниорской сборной Азербайджана. Была вновь включена в состав основной сборной страны в августе 2014 года[4]. В составе сборной Азербайджана принимала участие на чемпионате мира 2014 года, проходившим в Италии[5].