Меню Главная Случайная статья Настройки Непрерывность множества действительных чисел Материал из https://ru.wikipedia.org Непрерывность — свойство множества действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, которым не обладает множество рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Иногда вместо непрерывности говорят о полноте системы действительных чисел[1]. Существует несколько различных формулировок свойства непрерывности, наиболее известные из которых: принцип непрерывности действительных чисел по Дедекинду, принцип вложенных отрезков Коши — Кантора Содержание 1 Аксиома непрерывности 2 Роль аксиомы непрерывности в построении математического анализа 3 Другие формулировки свойства непрерывности и эквивалентные предложения 3.1 Непрерывность по Дедекинду 3.2 Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши — Кантора) 3.3 Принцип супремума 3.4 Лемма о конечном покрытии (принцип Гейне — Бореля) 3.5 Лемма о предельной точке (принцип Больцано — Вейерштрасса) 4 Эквивалентность предложений, выражающих непрерывность множества действительных чисел 5 Примечания 6 Литература Аксиома непрерывности При аксиоматическом построении теории действительного числа в число аксиом непременно включается следующее утверждение или эквивалентное ему[3]: Аксиома непрерывности (полноты). Каковы бы ни были непустые множества ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} }$, такие что для любых двух элементов ${\displaystyle a\in A}$ и ${\displaystyle b\in B}$ выполняется неравенство ${\displaystyle a\leqslant b}$, существует такое действительное число ${\displaystyle \xi }$, что для всех ${\displaystyle a\in A}$ и ${\displaystyle b\in B}$ имеет место соотношение Геометрически (если трактовать действительные числа как точки на прямой), если множества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ таковы, что на числовой прямой все элементы одного из них лежат левее всех элементов второго, то найдется число ${\displaystyle \xi }$, разделяющее эти два множества, то есть лежащее правее всех элементов ${\displaystyle A}$ (кроме, возможно, самого ${\displaystyle \xi }$) и левее всех элементов ${\displaystyle B}$ (та же оговорка). У множества рациональных чисел это свойство отсутствует. К примеру, если взять два множества: то для любых элементов ${\displaystyle a\in A}$ и ${\displaystyle b\in B}$ выполняется неравенство ${\displaystyle a<b}$. Однако рационального числа ${\displaystyle \xi }$, разделяющего эти два множества, не существует. В самом деле, этим числом может быть только ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, но оно не является рациональным. Роль аксиомы непрерывности в построении математического анализа Значение аксиомы непрерывности таково, что без неё невозможно строгое построение математического анализа. Для иллюстрации приведем несколько фундаментальных утверждений анализа, доказательство которых опирается на непрерывность действительных чисел: (Теорема Вейерштрасса). Всякая ограниченная монотонно возрастающая последовательность сходится (Теорема Больцано — Коши). Непрерывная на отрезке функция, принимающая на его концах значения разного знака, обращается в нуль в некоторой внутренней точке отрезка (Существование степенной, показательной, логарифмической и всех тригонометрических функций на всей «естественной» области определения). Например, доказывается, что для всякого ${\displaystyle a>0}$ и целого ${\displaystyle n\geqslant 1}$ существует ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$, то есть решение уравнения ${\displaystyle x^{n}=a,x>0}$. Это позволяет определить значение выражения ${\displaystyle a^{x}}$ для всех рациональных ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle a^{m/n}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}}$ Наконец, снова благодаря непрерывности числовой прямой можно определить значение выражения ${\displaystyle a^{x}}$ уже для произвольного ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. Аналогично, используя свойство непрерывности, доказывается существование числа ${\displaystyle \log _{a}{b}}$ для любых ${\displaystyle a,b>0,a\neq 1}$. Длительный исторический промежуток времени математики доказывали теоремы из анализа, в «тонких местах» ссылаясь на геометрическое обоснование, а чаще — и вовсе их пропуская, поскольку это было очевидно. Важнейшее понятие непрерывности использовалось без какого-либо четкого определения. Лишь в последней трети XIX века немецкий математик Карл Вейерштрасс произвел арифметизацию анализа, построив первую строгую теорию действительных чисел как бесконечных десятичных дробей. Он предложил классическое определение предела на языке ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$, доказал ряд утверждений, которые до него считались «очевидными», и тем самым завершил построение фундамента математического анализа. Позднее были предложены другие подходы к определению действительного числа. В аксиоматическом подходе непрерывность действительных чисел выделена явно в отдельную аксиому. В конструктивных подходах к теории действительного числа, например при построении действительных чисел с помощью дедекиндовых сечений, свойство непрерывности (в той или иной формулировке) доказывается в качестве теоремы. Другие формулировки свойства непрерывности и эквивалентные предложения Существует несколько различных утверждений, выражающих свойство непрерывности действительных чисел. Каждый из этих принципов можно положить в основу построения теории действительного числа в качестве аксиомы непрерывности, и из него вывести все остальные[4][5]. Подробнее этот вопрос обсуждается в следующем разделе. Непрерывность по Дедекинду Вопрос о непрерывности действительных чисел Дедекинд рассматривает в своей работе «Непрерывность и иррациональные числа» [6]. В ней он сравнивает рациональные числа с точками прямой линии. Как известно, между рациональными числами и точками прямой можно установить соответствие, когда на прямой выбирают начальную точку и единицу измерения отрезков. При помощи последней можно по каждому рациональному числу ${\displaystyle a}$ построить соответствующий отрезок, и отложив его вправо или влево, смотря по тому, есть ли ${\displaystyle a}$ положительное или отрицательное число, получить точку ${\displaystyle p}$, соответствующую числу ${\displaystyle a}$. Таким образом, каждому рациональному числу ${\displaystyle a}$ соответствует одна и только одна точка ${\displaystyle p}$ на прямой. При этом оказывается, что на прямой имеется бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Например, точка, полученная путём отложения длины диагонали квадрата построенного на единичном отрезке. Таким образом, область рациональных чисел не обладает той полнотой, или же непрерывностью, которая присуща прямой линии. Предыдущее сравнение области рациональных чисел с прямой привело к открытию в первой изъянов (Lckenhaftigkeit), неполноты, или разрывности, между тем как прямой мы приписываем полноту, отсутствие пробелов, непрерывность.Р. Дедекинд, «Непрерывность и иррациональные числа» Чтобы выяснить в чем же состоит эта непрерывность, Дедекинд делает следующее замечание. Если ${\displaystyle p}$ есть определенная точка прямой, то все точки прямой распадаются на два класса: точки расположенные левее ${\displaystyle p}$, и точки расположенные правее ${\displaystyle p}$. Сама же точка ${\displaystyle p}$ может быть произвольно отнесена либо к нижнему, либо к верхнему классу. Дедекинд усматривает сущность непрерывности в обратном принципе: