Меню Главная Случайная статья Настройки Неравенство Фридрихса Материал из https://ru.wikipedia.org Неравенство Фридрихса — теорема функционального анализа, доказанная Куртом Фридрихсом[англ.]. Оно указывает границу для Lp-нормы функции, используя Lp границы на слабые производные этой функции и геометрию области. Неравенство может быть использовано, чтобы показать эквивалентность некоторых норм на пространстве Соболева. Пусть — ограниченное подмножество евклидова пространства Rn с диаметром d. Предположим, что u : R принадлежит пространству Соболева ${\displaystyle W_{0}^{k,p}(\Omega )}$ (то есть ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$ и tr u = 0). Тогда ${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p},}$ где ${\displaystyle \|-\|_{L^{p}(\Omega )}}$ обозначает Lp-норму; = (1, …, n) — мультииндекс с нормой || = 1 + … + n; Du — смешанная частная производная ${\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}.}$ Близким результатом является неравенство Пуанкаре[англ.]. Литература Rektorys, Karel. The Friedrichs Inequality. The Poincar inequality // Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering. — 2nd. — Dordrecht : Reidel, 2001. — P. 188–198. — ISBN 1-4020-0297-1.