Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Неравенство Чебышёва (или неравенство Бьенеме — Чебышёва) — неравенство в теории меры и теории вероятностей.
Оно было первый раз получено Бьенеме в 1853 году, и позже также Чебышёвым (в статье «О средних величинах» 1867 года).
Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.
Содержание
В теории меры
Неравенство Чебышёва в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва также используется для доказательства вложения пространства в слабое пространство .
Стандартная формулировка
Пусть — пространство с мерой. Если функция интегрируема и неотрицательна на множестве , то для любой положительной константы мера множества всех из , для которых значение не меньше , сама не больше интеграла от по , делённого на :
Обобщённая формулировка
Стандартной формулировке можно сделать следующее обобщение. Пусть также интегрируема и неотрицательна на множестве , но она к тому же не убывает (не обязательно всюду, достаточно лишь неубывания на всей области значения и в точке ). Тогда мера множества всех из , для которых значение не меньше , сама не больше интеграла от композиции по , делённому на :
Для перехода к стандартной формулировке достаточно взять
Формулировка в терминах пространства L
Пусть . Тогда
В теории вероятностей
Неравенство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. А более точно, оно даёт оценку вероятности того, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего.
Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.
Формулировка
Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , а её математическое ожидание и дисперсия конечны. Тогда
- , где .
Если , где — стандартное отклонение и , то получаем
- .
В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на стандартных отклонения, с вероятностью меньше . Отклоняется от среднего на стандартных отклонения с вероятностью меньше . Иными словами, случайная величина укладывается в стандартных отклонения с вероятностью и в стандартных отклонения с вероятностью
Для важнейшего случая одномодальных[англ.] распределений неравенство Высочанского — Петунина существенно усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь . Таким образом, граница в стандартных отклонения включает значений случайной величины. В отличие от нормального распределения, где стандартных отклонения включают значений случайной величины.
Доказательство
Докажем теорему в обобщённой формулировке
См. также
Литература
Ссылки
|
|