Меню Главная Случайная статья Настройки Несчётное множество Материал из https://ru.wikipedia.org Несчётное множество — бесконечное множество, не являющееся счётным. Некоторые эквивалентные определения несчётности для множества ${\displaystyle X}$: не существует инъективного отображения ${\displaystyle X}$ во множество натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$; ${\displaystyle X}$ не пустое, и для каждой нумерованной последовательности элементов ${\displaystyle X}$ существует по крайней мере один элемент ${\displaystyle X}$, не входящий в неё; иными словами: ${\displaystyle X}$ непусто, и не существует сюръективного отображения множества натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ на ${\displaystyle X}$; мощность ${\displaystyle X}$ не является ни конечной, ни равной ${\displaystyle \aleph _{0}}$. Данные определения являются эквивалентными в системе Цермело — Френкеля без использования аксиомы выбора. Доказательство эквивалентности данных определений со следующим: мощность ${\displaystyle X}$ строго превышает ${\displaystyle \aleph _{0}}$ — требует привлечения аксиомы выбора. Надмножество несчётного множества несчётно. Простейший пример несчётного множества — континуум, вопрос о существовании несчётных множеств с мощностью менее мощности континуума составляет содержание континуум-гипотезы. Литература М. И. Войцеховский. Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.