Нильсен начал свою карьеру в бывшем клубе своего отца «Брёнсхёй». В команде он провёл шесть сезонов, сыграв около 300 матчей. В 1987 году перешёл в «Брондбю». С новым клубом он дважды выиграл датскую Суперлигу и завоевал Кубок Дании. После чемпионата мира 1986 года Нильсен перешёл в английскую «Астон Виллу». Сумма трансфера составила 500 тыс. Он сразу же стал основным футболистом команды, но с приходом нового тренера в 1991 году Нильсен потерял место в основе и вернулся на родину. Новым клубом Кента стал «Орхус», с которым он во второй раз в карьере выиграл Кубок Дании. В 1994 году Нильсен завершил карьеру и вскоре стал тренером.
Международная карьера
5 октября 1983 года Нильсен дебютировал за сборную Дании в матче против Польши. В 1986 году он был включен в заявку на участие в чемпионате мира 1986 года. На турнир Кент поехал как футболист резерва и на поле так и не вышел. В 1992 году Нильсен в составе национальной команды принял участие в чемпионате Европы и стал победителем турнира. На турнире он сыграл в четырёх матчах — против сборных Англии[3], Швеции[4], Франции[5] и Германии[6]. Сразу после первенства Европы завершил карьеру в сборной.