Меню Главная Случайная статья Настройки Нормальная форма Смита Материал из https://ru.wikipedia.org Нормальная форма Смита — это диагональная (не обязательно квадратная) матрица над областью главных идеалов, каждый следующий диагональный элемент которой делится на предыдущий. Любую матрицу над областью главных идеалов можно привести к нормальной форме Смита путём умножения слева и справа на обратимые матрицы[1]. Содержание 1 Формулировка 2 Применения 3 См. также 4 Примечания 5 Литература Формулировка Для любой матрицы ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle m\times n}$ над областью главных идеалов ${\displaystyle R}$ существуют такие обратимые над ${\displaystyle R}$ матрицы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$, что ${\displaystyle BAC=\mathrm {diag} (g_{1},g_{2},\ldots ,g_{p},0,\ldots ,0)}$, где ${\displaystyle g_{i+1}}$ делится на ${\displaystyle g_{i}}$. Здесь ${\displaystyle \mathrm {diag} (g_{1},g_{2},\ldots ,g_{p},0,\ldots ,0)}$ обозначает матрицу размера ${\displaystyle m\times n}$ с указанными диагональными элементами и нулями на остальных позициях. Применения Из теоремы о нормальной форме Смита следует известная теорема о структуре конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов. В частности, если ${\displaystyle R}$ — кольцо целых чисел, то из нормальной формы Смита получается теорема о строении конечнопорожденных абелевых групп, а если ${\displaystyle R=F[t]}$ — кольцо многочленов над алгебраически замкнутым полем ${\displaystyle F}$, то из нее можно вывести теорему о жордановой форме линейного оператора. См. также Эрмитова нормальная форма Примечания Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 128. Литература Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.