Меню Главная Случайная статья Настройки Норма (теория полей) Материал из https://ru.wikipedia.org Норма — отображение элементов конечного расширения E поля K в исходное поле K, определяемое следующим образом: Пусть E — конечное расширение поля K степени n, ${\displaystyle \alpha }$ — какой-нибудь элемент поля E. Поскольку E является векторным пространством над K, данный элемент определяет линейное преобразование ${\displaystyle x\mapsto \alpha x}$. Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить матрицу. Определитель этой матрицы называется нормой элемента . Так как в другом базисе отображению будет соответствовать подобная матрица с тем же определителем, норма не зависит от выбранного базиса, то есть элементу расширения можно однозначно сопоставить его норму. Она обозначается ${\displaystyle N_{K}^{E}(\alpha )}$ или просто ${\displaystyle N(\alpha )}$, если понятно, о каком расширении идет речь. Содержание 1 Свойства 2 Выражение нормы через автоморфизмы E над K 3 Пример 4 См. также 5 Литература Свойства ${\displaystyle N(\alpha )=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \alpha =0}$. ${\displaystyle N_{K}^{E}(\alpha )=\alpha ^{[E:K]}}$ для любого ${\displaystyle \alpha \in K}$ ${\displaystyle N(\alpha \beta )=N(\alpha )\cdot N(\beta )}$ Норма транзитивна, то есть для цепочки расширений ${\displaystyle K\subset E\subset F}$ имеем ${\displaystyle N_{K}^{E}(N_{E}^{F}(\alpha ))=N_{K}^{F}(\alpha )}$ Если E = K() — простое алгебраическое расширение и f (x) = xn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 — минимальный многочлен , то ${\displaystyle N_{K}^{E}(\alpha )=(-1)^{n}a_{0}}$ Выражение нормы через автоморфизмыEнадK Пусть 1, 2 … m — все автоморфизмы E, сохраняющие неподвижными элементы поля K. Если E — расширение Галуа, то m равно степени [E:К] = n. Тогда для нормы существует следующее выражение: ${\displaystyle N_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha )}$ Если E несепарабельно, то mn, однако n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p. Тогда ${\displaystyle N_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha ))^{n/m}.}$ Пример Пусть R — поле вещественных чисел, C — поле комплексных чисел, рассматриваемое как расширение R. Тогда в базисе ${\displaystyle (1,i)}$ умножению на ${\displaystyle a+bi}$ соответствует матрица ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}}$ Определитель этой матрицы равен ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$, то есть квадрату обычного модуля комплексного числа. Заметим, что обычно эту норму определяют как ${\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}},}$ и это хорошо согласуется с тем, что комплексное сопряжение является нетривиальным автоморфизмом поля комплексных чисел. См. также Норма в числовом поле След (теория полей) Литература Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.