Меню Главная Случайная статья Настройки Нётерово пространство Материал из https://ru.wikipedia.org Нётерово пространство (по имени Эмми Нётер) — топологическое пространство X, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств[1][2]. То есть для каждой последовательности замкнутых подмножеств ${\displaystyle Y_{i}}$ пространства X такой, что: ${\displaystyle Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq Y_{3}\supseteq \cdots }$ существует целое число r, что ${\displaystyle Y_{s}=Y_{r}~\forall s>r.}$ Это условие эквивалентно тому, что каждое подмножество ${\displaystyle X}$ компактно. Содержание 1 Эквивалентные определения 2 Свойства 3 Примеры 4 См. также 5 Примечания 6 Литература 7 Ссылки Эквивалентные определения Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ называется нётеровым, если выполнено одно из следующих эквивалентных утверждений: ${\displaystyle X}$ удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств[1][2]; ${\displaystyle X}$ удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей открытых подмножеств[3]; каждое непустое семейство замкнутых подмножеств в ${\displaystyle X}$, упорядоченное по включению имеет минимальный элемент[1][3]; каждое непустое семейство открытых подмножеств в ${\displaystyle X}$, упорядоченное по включению имеет максимальный элемент[3]; каждое подмножество ${\displaystyle X}$ компактно (с топологией подпространства); каждое открытое подмножество ${\displaystyle X}$ компактно[1]. Свойства Хаусдорфово пространство нётерово тогда и только тогда, когда оно конечное (и при этом оно будет дискретным)[3]. Каждое подпространство пространства Нётер снова является пространством Нётер[1][3]. Если пространство ${\displaystyle X}$ можно покрыть конечным числом нётеровых подпространств, то ${\displaystyle X}$ само нётерово[1]. Нётерово пространство ${\displaystyle X}$ представимо в виде объединения конечного числа своих неприводимых компонент[1][2]. Примеры Нётеровы пространства часто встречаются в алгебраической геометрии. Пространство ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ( аффинное n-мерное пространство над полем k) с топологией Зарисского является топологическим пространством Нётер[2]. Согласно определению топологии Зарисского в ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ если: ${\displaystyle Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq Y_{3}\supseteq \cdots }$ есть убывающая последовательность замкнутых множеств, то: ${\displaystyle I(Y_{1})\subseteq I(Y_{2})\subseteq I(Y_{3})\subseteq \cdots }$ является возрастающей последовательностью идеалов ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ (${\displaystyle I(Y_{i})}$ обозначает идеал полиномиальных функций, равных нулю в каждой точке ${\displaystyle (Y_{i})}$). Поскольку ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ является кольцом Нётер, существует целое число ${\displaystyle m}$, такое что: ${\displaystyle I(Y_{m})=I(Y_{m+1})=I(Y_{m+2})\cdots .}$ Учитывая однозначное соответствие между радикальными идеалами ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ и замкнутыми (в топологии Зарисского) множествами ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ выполняется ${\displaystyle V(I(Y_{i}))=Y_{i}}$ для всех i. Поэтому: ${\displaystyle Y_{m}=Y_{m+1}=Y_{m+2}=\cdots }$ Примерами нётеровых пространств является спектры коммутативных колец. Если ${\displaystyle R}$ — кольцо Нётер, то пространство ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ (спектр ${\displaystyle R}$) является нётеровым[1]. См. также Нётеровость Примечания 1 2 3 4 5 6 7 8 Кузьмин, 1982. 1 2 3 4 Хартсхорн, 1981, с. 21. 1 2 3 4 5 Хартсхорн, 1981, с. 25. Литература Кузьмин Л. В. . Мёбиуса ряд // Математическая энциклопедия. Т. 3 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Сов. энциклопедия, 1982. — 1184 стб. — Стб. 1028. Ссылки Дрозд, Юрий.  Введение в алгебраическую геометрию (недоступная ссылка)