Меню Главная Случайная статья Настройки Линейный непрерывный оператор Материал из https://ru.wikipedia.org Линейный непрерывный оператор ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$, действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство  Термин «линейный непрерывный оператор» обычно употребляют в случае, когда В теории нормированных пространств линейные непрерывные операторы более известны как ограниченные линейные по нижеизложенной причине. Теория линейных непрерывных операторов играет важную роль в функциональном анализе, математической физике и вычислительной математике. Содержание 1 Свойства 2 Непрерывность и сходящиеся последовательности 3 Связанные определения 4 См. также 5 Литература 6 Примечания Свойства Если Непрерывность линейного оператора в нуле равносильна его непрерывности в любой другой точке (и, следовательно, во всём Для нормированных пространств условия непрерывности и ограниченности (т.е. конечности операторной нормы) равносильны.[2]. В общем случае из непрерывности линейного оператора следует ограниченность, но обратное верно не всегда. Если Множество всех линейных непрерывных операторов из Свойства линейного непрерывного оператора сильно зависят от свойств пространств X и Y. Например, если X — конечномерное пространство, то оператор ${\displaystyle A\in L(X,Y)}$ будет вполне непрерывным оператором, область его значений ${\displaystyle R(A)}$ будет конечномерным линейным подпространством, и каждый такой оператор можно представить в виде матрицы[3]. Непрерывность и сходящиеся последовательности Линейный оператор ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$, действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y, непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ точек X, из ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x_{0}}$ следует ${\displaystyle Ax_{n}\rightarrow Ax_{0}}$. Пусть ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}=s}$ сходится и ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$ — линейный непрерывный оператор. Тогда справедливо равенство ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }Ax_{n}=As}$. Это означает, что к сходящимся рядам в линейных топологических пространствах непрерывный линейный оператор можно применять почленно. Если X, Y — банаховы пространства, то непрерывный оператор переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся: если ${\displaystyle x_{n}\to x}$ слабо, то ${\displaystyle Ax_{n}\to Ax}$ слабо. Связанные определения Линейный оператор называется ограниченным снизу, если ${\displaystyle \exists k>0,\forall x\in X,\|Ax\|\geq k\|x\|}$. См. также Сопряжённый оператор Литература Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с. Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с. Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с. Примечания Линейные непрерывные функционалы обладают специфическими свойствами, не имеющими места в общем случае, и порождают особенные математические структуры, поэтому теорию линейных непрерывных функционалов рассматривают отдельно от общей теории. Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. — 664 с. Архивировано 2 октября 2021 года. Также, в конечномерном пространстве ${\displaystyle X}$ с базисом ${\displaystyle \{x_{k}\}_{k=1}^{n}}$, линейный непрерывный оператор ${\displaystyle A}$ можно представить в виде ${\displaystyle Ax=f_{1}(x)x_{1}+f_{2}(x)x_{2}+\cdots +f_{n}(x)x_{n},\forall x\in X}$, где ${\displaystyle f_{k}\in X^{*}}$ — функции из сопряжённого пространства.