Меню Главная Случайная статья Настройки Ограниченный оператор Материал из https://ru.wikipedia.org Оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ называется ограниченным, если каждое ограниченное множество исходного топологического векторного пространства ${\displaystyle X}$ он переводит в ограниченное множество топологического векторного пространства ${\displaystyle Y}$.[1] Приведённое выше определение относится как к линейным, так и к нелинейным операторам. Линейный ограниченный оператор Определения Для линейного оператора часто приводят другие определения:[1] Будем называть линейный оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ ограниченным, если существует такая окрестность нуля ${\displaystyle U}$, что ${\displaystyle A(U)}$ является ограниченным множеством в ${\displaystyle Y}$. Будем называть линейный оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ в нормированном пространстве ограниченным, если существует такое положительное число ${\displaystyle C}$, что ${\displaystyle \|Ax\|\leq C\|x\|}$. Наименьшее из таких чисел ${\displaystyle C}$ обозначают через ${\displaystyle \|A\|}$ и называют нормой оператора ${\displaystyle A}$. Иными словами, ${\displaystyle \|A\|=\sup _{\|x\|=1}{\|Ax\|}}$ Свойства вF-пространствах Замечание: Частным случаем F-пространства является пространство Банаха. Справедлива теорема о том, что линейный ограниченный оператор, действующий из одного F-пространства в другое является непрерывным.[2] Обратно (Теорема Банаха), всякий непрерывный оператор является ограниченным.[1][2] Поэтому для дополнительных свойств таких операторов смотрите статью Линейный непрерывный оператор. Литература 1 2 3 Математическая энциклопедия / Виноградов И.М.. — М.: Сов. энциклопедия, 1977. — Т. 3. 1 2