Меню Главная Случайная статья Настройки Однородная функция Материал из https://ru.wikipedia.org Однородная функция степени ${\displaystyle q}$ — числовая функция ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ такая, что для любого ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}}$из области определения функции ${\displaystyle f}$ и любого ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ выполняется равенство: ${\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{q}f(\mathbf {v} ).\qquad \qquad (*)}$ Параметр ${\displaystyle q}$ называется порядком однородности. Подразумевается, что если ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}}$входит в область определения функции, то все точки вида ${\displaystyle \lambda \mathbf {v} }$ тоже входят в область определения функции. Различают также положительно однородные функции, для которых равенство ${\displaystyle (*)}$ выполняется только для положительных ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (\lambda >0),}$ абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство     ${\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=|\lambda |^{q}f(\mathbf {v} ),}$ ограниченно однородные функции, для которых равенство ${\displaystyle (*)}$ выполняется только для некоторых выделенных значений ${\displaystyle \lambda ,}$ комплексные однородные функции ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$ для которых равенство ${\displaystyle (*)}$ справедливо при ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$ и ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ (а также для комплексных показателей ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$). Содержание 1 Альтернативное определение однородной функции 2 Свойства 3 Лямбда-однородные функции 4 Оператор Эйлера 5 Ограниченно однородные функции 6 Присоединённые однородные функции 7 Взаимно однородные функции 8 Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями 9 Однородные обобщённые функции 10 См. также Альтернативное определение однородной функции В некоторых математических источниках однородными называются функции, являющиеся решением функционального уравнения $${\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )}$$ с заранее неопределённой функцией ${\displaystyle g(\lambda )}$ и лишь потом доказывается, что ${\displaystyle g(\lambda )=\lambda ^{q}.}$ Для единственности решения ${\displaystyle g(\lambda )=\lambda ^{q}}$ нужно дополнительное условие, что функция ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ не равна тождественно нулю и что функция ${\displaystyle g(\lambda )}$ принадлежит определённому классу функций (например, была непрерывной или была монотонной). Однако, если функция ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ непрерывна хотя бы в одной точке с ненулевым значением функции, то ${\displaystyle g(\lambda )}$ должна быть непрерывной функцией при всех значениях ${\displaystyle \lambda ,}$ и тем самым для широкого класса функций ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ случай ${\displaystyle g(\lambda )\equiv \lambda ^{q}}$ — единственно возможный. Обоснование: Функция, тождественно равная нулю, удовлетворяет функциональному уравнению ${\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )}$ при любом выборе функции ${\displaystyle g(\lambda ),}$ однако этот вырожденный случай не представляет особого интереса. Если же в какой-то точке ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ значение ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,}$ то: ${\displaystyle g(\lambda _{1}\lambda _{2})f(\mathbf {v} _{0})=f(\lambda _{1}\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})f(\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2})f(\mathbf {v} _{0})}$, откуда: $${\displaystyle \forall \lambda _{1},\lambda _{2}:g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2});}$$ ${\displaystyle g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2})\Leftrightarrow G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2}),}$ где ${\displaystyle \mu =\log \lambda ,G(\mu )=\log g(\exp(\mu )).}$ Функциональное уравнение Коши ${\displaystyle G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2})}$ имеет решение в виде линейной функции: ${\displaystyle G(t)=q\cdot t,}$ причём для класса непрерывных или класса монотонных функций это решение единственное. Поэтому если известно, что ${\displaystyle g(\lambda )}$ непрерывная или монотонная функция, то ${\displaystyle g(\lambda )\equiv \lambda ^{q}.}$ 1. При рациональных ${\displaystyle t=m/n}$ справедливо ${\displaystyle G(t\mu )=t\cdot G(\mu ),}$ так как: а) ${\displaystyle G(2\mu )=G(\mu +\mu )=G(\mu )+G(\mu )=2G(\mu ),}$ то есть ${\displaystyle G(2\mu )=2G(\mu );}$ б) ${\displaystyle 2G(\mu /2)=G(\mu /2)+G(\mu /2)=G(\mu /2+\mu /2)=G(\mu ),}$ то есть ${\displaystyle G(\mu /2)=(1/2)G(\mu );}$ и т. д.; 2. Поскольку иррациональные числа, которые можно сколь угодно тесно «зажать» между двумя рациональными, то для непрерывных или для монотонных функций соотношение ${\displaystyle G(t\mu )=t\cdot G(\mu )}$ должно быть выполнено также и для иррациональных ${\displaystyle t;}$ 3. Последний шаг: в соотношении ${\displaystyle G(t\mu )=t\cdot G(\mu )}$ следует задать ${\displaystyle \mu =1.}$ Примечание: для более широких классов функций у рассматриваемого функционального уравнения могут иметься и другие, весьма экзотические решения (см. статью «Базис Гамеля»).