Озкаджар — воспитанник клубов «Буджаспор», «Алтынорду» и «Алтай». В 2018 году он был включён в заявку на сезон последних. В том же году Дженк для получения игровой практики на правах аренды сезон выступал за клуб Третьей лиги Турции «Караджебей». По окончании аренды Озкаджар вернулся в «Алтай». 13 декабря 2019 года в матче против «Адана Демирспор» он дебютировал в Первой лиге Турции[2]. Летом 2020 года Озкаджар подписал контракт на 5 лет со французским «Лионом»[3]. Сумма трансфера составила 1,5 млн. евро. 21 апреля 2021 года в матче Кубка Франции против «Монако» он дебютировал за основной состав[4]. Летом 2021 года Озкаджар на правах аренды перешёл в бельгийский «Ауд-Хеверле Лёвен»[5]. 24 июля в матче против «Зюлте-Варегем» он дебютировал в Жюпиле лиге[6]. 29 августа в поединке против «Антверпена» Дженк забил свой первый гол за «Ауд-Хеверле Лёвен»[7].