Меню Главная Случайная статья Настройки Окружность Аполлония Материал из https://ru.wikipedia.org Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице. Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония. Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 Свойства 4 О доказательствах 5 Приложения 6 См. также 7 Примечания Определение Пусть на плоскости даны две точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. Рассмотрим все точки ${\displaystyle P}$ этой плоскости, для каждой из которых отношение ${\displaystyle k={\frac {PA}{PB}}}$ есть фиксированное положительное число. При ${\displaystyle k=1}$ эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку ${\displaystyle AB}$; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония. Замечания Точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются фокусами окружности Аполлония. Свойства Радиус окружности Аполлония равен ${\displaystyle R={\frac {k}{|k^{2}-1|}}\cdot AB.}$ Отрезок ${\displaystyle PC}$ между точкой на окружности и точкой пересечения окружности с прямой ${\displaystyle AB}$ является биссектрисой самого угла ${\displaystyle \angle APB}$ или угла, смежного с ним. Инверсия относительно окружности Аполлония меняет точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ местами. Центр данной окружности лежит на прямой, соединяющей эти две точки. О доказательствах Одно из доказательств основано на свойстве внутренней и внешней биссектрисы треугольника, а именно то что биссектриса делит противоположную сторону в отношении пропорциональном прилежащим к ней сторонам.[1] Существует доказательство, основанное на свойстве инверсии.[2] Также существует довольно простое доказательство прямым подсчётом в координатах. Приложения Часто используется в анализе построений с помощью циркуля и линейки. В частности одно из решений задачи Брахмагупты основано на построении окружности Аполлония. Окружность Аполлония находит применение при решении задачи сближения на плоскости с использованием стратегии параллельного сближения. См. также Эллиптические координаты Похоже определяемые кривые Гипербола — кривая постоянной разности расстояний между фокусами; Эллипс — кривая постоянной суммы расстояний между фокусами; овал Кассини — кривая постоянного произведения расстояний между фокусами. Примечания § 228, издание 1914 года «Элементарной геометрии Киселёва». §124 «Геометрии» А. Ю. Давидова.