Онана — воспитанник Академии Нкуфо. В начале 2019 года Жан подписал контракт с португальским «Лейшойншом». 3 марта в матче против «Академико Визеу» он дебютировал в Сегунда лиге[1]. В начале 2020 года Онана перешёл во французский «Лилль»[2]. 16 февраля 2020 года в матче против марсельского «Олимпика» он дебютировал в Лиге 1[3]. В том же году для получения игровой практики Онана на правах аренды перешёл в бельгийский «Мускрон-Перювельз»[4]. 8 августа в матче против «Антверпена» он дебютировал в Жюпиле лиге[5]. 12 декабря в поединке против «Беерсхота» Жан забил свой первый гол за «Мускрон-Перювельз»[6].
Летом 2021 году Онана перешёл в «Бордо», подписав контракт на 5 лет[7]. Сумма трансфера составила 2 млн евро. В матче против «Ланса» он дебютировал за новый клуб. В этом же поединке Жан забил свой первый гол за «Бордо».
30 января 2025 года «Бешикташ» отправил Онану в аренду в клуб Серии A «Дженоа» до конца сезона с опцией выкупа[8].