Ru.Wikipedia.Org - Оператор эволюции

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Оператор эволюции
Материал из https://ru.wikipedia.org

Оператор эволюции (генератор эволюции во времени)— оператор в квантовой механике, заданный на гильбертовом пространстве, который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой.

Содержание

Связь оператора эволюции с оператором Гамильтона

Оператор эволюции связан с оператором Гамильтона следующими формулами:

${\hat {S}}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}$

${\hat {S}}(t,t_{0})={\overline {T}}\left\{\exp \left({{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{t_{0}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t<t_{0}$

где

T,{\overline {T}}

— операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени.

В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:

${\hat {S}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }$

Свойства оператора эволюции

1.

{\hat {S}}(t_{2},t_{1})

^[1] — унитарный оператор.

2.

{\hat {S}}(t_{3},t_{2}){\hat {S}}(t_{2},t_{1})={\hat {S}}(t_{3},t_{1}),\forall \,t_{1},t_{2},t_{3}

.

3.

{\hat {S}}(t,t_{1}){\hat {S}}(t_{1},t)={\hat {I}},\forall \,t_{1},t

^[2], где

{\hat {I}}

— единичный оператор.

Вывод соотношения между оператором эволюции и гамильтонианом

Согласно постулатам квантовой механики чистое состояние системы описывается вектором из гильбертова пространства

|\Psi \rangle

. Введём оператор

{\hat {S}}(t,t_{0})

, который действует по правилу:

{\hat {S}}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle

Введённый оператор должен быть унитарным, чтобы нормировка вектора состояния сохранялась во времени. В представлении Шрёдингера вектор состояния удовлетворяет уравнению Шрёдингера:

{\hat {H}}(t)\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial  \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,

где

{\hat {H}}(t)

— оператор Гамильтона.

Если гамильтониан не зависит от времени, то

\left|\Psi (t)\right\rangle =e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

— является решением уравнения Шрёдингера. Отсюда следует, что оператор эволюции имеет вид:

{\hat {S}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }

Теперь пусть оператор Гамильтона зависит от времени и пусть

t_{0}<t

. Тогда разобьём рассматриваемый промежуток времени на интервалы

(t_{n},t_{n+1})

и будем считать, что в каждом из этих интервалов оператор Гамильтона постоянен

{\hat {H}}(t)={\hat {H}}(t_{n})

, при

t_{n}<t\leq t_{n+1}

. Тогда в любой момент времени, согласно предыдущим рассуждениям, вектор состояния имеет вид:

\left|\Psi (t)\right\rangle =e^{-i{\hat {H}}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }\left|\Psi (t_{n})\right\rangle =e^{-i{\hat {H}}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }\dots e^{-i{\hat {H}}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }e^{-i{\hat {H}}(t_{0})(t_{1}-t_{0})/\hbar }\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Теперь введём оператор упорядочивания по времени

T

, который действует по следующему правилу:

T\{{\hat {H}}(t_{P(m)}){\hat {H}}(t_{P(m-1)})\dots {\hat {H}}_{P(1)}\}={\hat {H}}(t_{m}){\hat {H}}(t_{m-1})\dots {\hat {H}}(t_{1})

при

t_{1}\leq t_{2}\leq \dots \leq t_{m}

, для любой перестановки

P(1,2\dots ,m)

.

С учётом этого волновую функцию можно написать в виде:

\left|\Psi (t)\right\rangle =T\left\{e^{-i{\hat {H}}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }\dots e^{-i{\hat {H}}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }e^{-i{\hat {H}}(t_{0})(t_{1}-t_{0})/\hbar }\right\}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Для коммутирующих операторов

{\hat {A}},{\hat {B}}

справедливо, что

e^{\hat {A}}e^{\hat {B}}=e^{{\hat {A}}+{\hat {B}}}

. Так как операторы под знаком T-упорядочивания коммутируют, то последнее переписывается в виде:

\left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{-i\sum \limits _{i=0}^{n}{\hat {H}}(t_{i})\Delta t_{i}/\hbar }{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

При

n\rightarrow \infty

получаем, что

\left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{-i\int \limits _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t')dt'/\hbar }{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Поэтому

{\hat {S}}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}

Теперь рассмотрим оператор

{\hat {S}}(t,t_{0})

при

t<t_{0}

. Это то же самое, если рассмотреть

{\hat {S}}(t_{0},t)

при

t_{0}<t

. Воспользуемся тем, что

{\hat {S}}(t_{0},t){\hat {S}}(t,t_{0})={\hat {I}}

,

где

{\hat {I}}

— единичный оператор.

Тогда:

\lim _{n\rightarrow 0}{\hat {S}}(t_{0},t)e^{-i{\hat {H}}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }\dots e^{-i{\hat {H}}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }e^{-i{\hat {H}}(t_{0})(t_{1}-t_{0})/\hbar }={\hat {I}}

и непосредственной проверкой убеждаемся, что

{\hat {S}}(t_{0},t)=\lim _{n\rightarrow 0}e^{i{\hat {H}}(t_{0})(t-t_{0})/\hbar }\dots e^{i{\hat {H}}(t_{n-1})(t_{n}-t_{n-1})/\hbar }e^{-i{\hat {H}}(t)(t-t_{n})/\hbar }={\overline {T}}\left\{\exp \left({{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}

где

{\overline {T}}

— оператор анти-упорядочивания по времени.

Примечания

Оператор эволюции должен быть унитарным, чтобы нормировка вектора состояния сохранялась во времени $\langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle$ .
Свойство 3 является следствием свойства 2.

См. также

Литература

Stefanucci, Gianluca. Nonequilibrium many-body theory of quantum systems : a modern introduction : [англ.] / Gianluca Stefanucci, Robert van Leeuwen. — Cambridge : Cambridge University Press, 2013. — P. 81—85. — ISBN 9781139023979.