Меню Главная Случайная статья Настройки Якобиан Материал из https://ru.wikipedia.org Якобиан (определитель Якоби, функциональный определитель) — определённое обобщение производной функции одной переменной на случай отображений из евклидова пространства в себя. Якобиан выражается как определитель матрицы Якоби — матрицы, составленной из частных производных отображения. Якобиан отображения ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$ обычно обозначается ${\displaystyle \mathop {\rm {Jac}} \nolimits _{x}f}$, иногда также следующим образом: ${\displaystyle {\frac {D(f_{1},\dots ,f_{n})}{D(x_{1},\dots ,x_{n})}}}$ , или ${\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\dots ,f_{n})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}}}$ Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель. По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю[1]. Введён Якоби (1833, 1841). Содержание 1 Определение 2 Геометрическая интерпретация 3 Применение 4 Примеры 5 Свойства 6 Примечания 7 См. также Определение Якобиан векторной функции ${\displaystyle \mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n}),u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,n}$, имеющей в некоторой точке ${\displaystyle x}$ все частные производные первого порядка, определяется как ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{n} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{n} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{n} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}.}$ Также можно говорить об определителе Якоби или якобиане системы функций ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$. Геометрическая интерпретация Если функции ${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\ldots ,{\tilde {x}}_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ определяют преобразование координат ${\displaystyle x_{i}\rightarrow {\tilde {x}}_{j}}$, то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов[2] параллелепипедов, «натянутых» на ${\displaystyle d{\tilde {x}}_{1},d{\tilde {x}}_{2},\dots ,d{\tilde {x}}_{n}}$ и на ${\displaystyle dx_{1},dx_{2},\dots ,dx_{n}}$ при равенстве произведений ${\displaystyle d{\tilde {x}}_{1}d{\tilde {x}}_{2}\dots d{\tilde {x}}_{n}=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}$. Применение Якобиан часто применяется при анализе неявных функций. Неравенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием локальной невырожденности преобразования координат, то есть означает, что в окрестности рассматриваемой точки это преобразование является диффеоморфизмом. Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат ${\displaystyle {\tilde {x}}_{j}\rightarrow x_{i}}$ преобразуется как ${\displaystyle \int \limits _{\tilde {\Omega }}f({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},\dots ,{\tilde {x}}_{n})d{\tilde {x}}_{1}d{\tilde {x}}_{2}\dots d{\tilde {x}}_{n}=}$ ${\displaystyle =\int \limits _{\Omega }f({\tilde {x}}_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),{\tilde {x}}_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\dots ,{\tilde {x}}_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})){\bigg |}{\frac {D({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},\dots ,{\tilde {x}}_{n})}{D(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}{\bigg |}dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}$ (формула замены переменных в n-мерном интеграле). Примеры Пример 1. Переход элементарной площади ${\displaystyle \mathrm {d} S=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$ от декартовых координат (x, y) к полярным координатам (r, ): ${\displaystyle x=r\,\cos \varphi }$ ${\displaystyle y=r\,\sin \varphi .}$ Матрица Якоби имеет следующий вид ${\displaystyle {\hat {I}}(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\\sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}.}$ А якобиан перехода от декартовых координат к полярным — есть определитель матрицы Якоби: ${\displaystyle J(r,\varphi )=\det {\hat {I}}(r,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\\sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}=r.}$ Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом: ${\displaystyle \mathrm {d} S=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=J(r,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi =r\,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi }$ Пример 2. Переход элементарного объёма ${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}$ от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, , ) : ${\displaystyle x=r\,\sin \theta \,\cos \varphi }$ ${\displaystyle y=r\,\sin \theta \,\sin \varphi }$ ${\displaystyle z=r\,\cos \theta .}$ Матрица Якоби имеет следующий вид ${\displaystyle {\hat {I}}(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r\,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \,\sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.}$ А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби: ${\displaystyle J(r,\theta ,\varphi )=\det {\hat {I}}(r,\theta ,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r\,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \,\sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}=r^{2}\sin \theta .}$ Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом: ${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }$ Свойства Абсолютное значение якобиана в некоторой точке ${\displaystyle x}$ равно коэффициенту искажения объёмов в этой точке (то есть пределу отношения объёма образа окрестности точки ${\displaystyle x}$ к объёму самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю). Якобиан в точке ${\displaystyle x}$ положителен, если отображение не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае. Если якобиан отображения не обращается в нуль в области ${\displaystyle \Delta }$, то отображение ${\displaystyle \Delta }$ является локальным диффеоморфизмом. Примечания wolfram.com Архивная копия от 3 ноября 2017 на Wayback Machine Jacobian Здесь имеется в виду ориентированный объём. Отношение простых объёмов есть модуль определителя Якоби. См. также Применение в физике Соотношения Бриджмена (термодинамика) и Соотношения Максвелла (термодинамика) выводятся с применением техники якобианов