Ru.Wikipedia.Org - Теорема Ньютона

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Теорема Ньютона — Лейбница
Материал из https://ru.wikipedia.org

Формула Ньютона — Лейбница, или основная формула анализа, или формула Барроу^[1] даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

Содержание

Формулировка

Классическая формулировка формулы Ньютона-Лейбница имеет следующий вид.

Если функция $\textstyle f(x)$ непрерывна на отрезке $\left[a,b\right]$ и $\textstyle \Phi (x)$ — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |}_{a}^{b}

Пусть на отрезке

\left[a,b\right]

задана интегрируемая функция

\textstyle f

.

Зададим произвольное значение

\textstyle x\in \left[a,b\right]

и определим новую функцию

\textstyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt

. Она определена для всех значений

\textstyle x\in \left[a,b\right]

, потому что мы знаем, что если существует интеграл от

\textstyle f

на

\left[a,b\right]

, то существует также интеграл от

\textstyle f

на

\left[a,x\right]

, где

a\leqslant x\leqslant b

. Напомним, что мы считаем по определению

F(a)=\int \limits _{a}^{a}f(t)\,dt=0

(1)

Заметим, что

F(b)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt

Покажем, что

\textstyle F

непрерывна на отрезке

\left[a,b\right]

. В самом деле, пусть

x,x+h\in \left[a,b\right]

; тогда

F(x+h)-F(x)=\int \limits _{a}^{(x+h)}f(t)\,dt-\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt=\int \limits _{x}^{(x+h)}f(t)\,dt

и если

K=sup|f(t)|,a\leqslant t\leqslant b

, то

|F(x+h)-F(x)|\leqslant {\bigg |}\int \limits _{x}^{(x+h)}f(t)\,dt{\bigg |}\leqslant K|h|\to 0,h\to 0

Таким образом,

\textstyle F

непрерывна на

\left[a,b\right]

независимо от того, имеет или не имеет

\textstyle f

разрывы; важно, что

\textstyle f

интегрируема на

\left[a,b\right]

.

Пусть теперь функция

\textstyle f

не только интегрируема на

\left[a,x\right]

, но непрерывна в точке

x\in \left[a,x\right]

. Докажем, что тогда

\textstyle F

имеет в этой точке производную, равную

\textstyle F'(x)=f(x)

(2)

В самом деле, для указанной точки

\textstyle x

{\dfrac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}f(t)\,dt={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}(f(x)+\eta (t))\,dt

={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}f(x)\,dt+{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}\eta (t)\,dt=f(x)+o

(1) ,

h\to 0

(3)

Мы положили

\textstyle f(t)=f(x)+\eta (t)

, а так как

\textstyle f(x)

постоянная относительно

\textstyle t

, то

\textstyle \int \limits _{x}^{x+h}f(x)\,dt=f(x)h

. Далее, в силу непрерывности

\textstyle f

в точке

\textstyle x

для всякого

\textstyle \varepsilon >0

можно указать такое

\textstyle \delta

, что

\textstyle |\eta (t)|<\varepsilon

для

\textstyle |x-t|<\delta

.

Поэтому

\left|{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}\eta (t)\,dt\right|\leqslant {\dfrac {1}{|h|}}|h|\varepsilon =\varepsilon ,|h|<\delta

что доказывает, что левая часть этого неравенства есть о(1) при

\textstyle h\to 0

.

Переход к пределу в (3) при

\textstyle h\to 0

показывает существование производной от

\textstyle F

в точке

\textstyle x

и справедливость равенства (2). При

\textstyle x=a,b

речь здесь идёт соответственно о правой и левой производной.

Если функция

\textstyle f

непрерывна на

\left[a,b\right]

, то на основании доказанного выше соответствующая ей функция

F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt

(4)

имеет производную, равную

\textstyle f(x):F'(x)=f(x),a\leqslant x\leqslant b

. Следовательно, функция

\textstyle F(x)

есть первообразная для

\textstyle f

на

\left[a,b\right]

.

Это заключение иногда называется теоремой об интеграле с переменным верхним пределом, или теоремой Барроу.

Мы доказали, что произвольная непрерывная на отрезке

\left[a,b\right]

функция

\textstyle f

имеет на этом отрезке первообразную, определенную равенством (4). Этим доказано существование первообразной для всякой непрерывной на отрезке функции.

Пусть теперь

\textstyle \Phi

есть произвольная первообразная функции

\textstyle f(x)

на

\left[a,b\right]

. Мы знаем, что

\textstyle \Phi (x)=F(x)+C

, где

\textstyle C

— некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве

\textstyle x=a

и учитывая, что

\textstyle F(a)=0

, получим

\textstyle \Phi (a)=C

.

Таким образом,

\textstyle F(x)=\Phi (x)-\Phi (a)

. Но

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)

Поэтому

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)=\Phi (x){\bigg |}{\begin{matrix}x=b\\\\x=a\end{matrix}}

Однако на самом деле требование непрерывности подынтегральной функции избыточно. Для выполнения этой формулы достаточно лишь существование левой и правой частей.

Если функция $\textstyle f(x)$ интегрируема и имеет первообразную на отрезке $\left[a,b\right]$ , $\textstyle \Phi (x)$ — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |}_{a}^{b}

Непрерывность является удобным условием на практике, поскольку сразу же гарантирует и интегрируемость, и существование первообразной. В случае её отсутствия же для правильного применения требуется проверка обоих этих свойств, что иногда бывает сложным. Существуют интегрируемые функции, не имеющие первообразной (любая функция с конечным числом точек разрыва или функция Римана), и неинтегрируемые, имеющие первообразную (производная

x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2}}}

, дополненная нулём в нуле, на любом отрезке, содержащем 0, или функция Вольтерры^[англ.]).

Формула может быть обобщена для случая функций с конечным числом разрывов. Для этого нужно обобщить понятие первообразной. Пусть функция

f

определена на отрезке

[a;b]

за исключением, возможно, конечного числа точек. Функция

F

называется обобщённой первообразной

f

, если она:

Непрерывна на отрезке $[a;b]$
Во всех точках $[a;b]$ , за исключением, возможно, конечного их числа, дифференцируема
Во всех точках, где она дифференцируема, за исключением, возможно, конечного их числа, её производная равна $f$ .

Это определение не требует, чтобы производная

F

равнялась

f

во всех точках, где

F

дифференцируема. С этим понятием можно обобщить формулу Ньютона — Лейбница ещё сильнее.

Пусть $f$ определена на $[a;b]$ везде, за исключением, возможно, конечного числа точек. Если функция $\textstyle f(x)$ интегрируема и имеет обобщённую первообразную на отрезке $\left[a,b\right]$ , $F(x)$ — любая её обобщённая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)={\Bigg .}F(x){\Bigg |}_{a}^{b}