Палчич — воспитанник клуба «Копер» из своего родного города. 6 апреля 2011 года в матче против «Целе» он дебютировал в чемпионате Словении[3]. 13 июля 2013 года в поединке против «Крка» Матей забил свой первый гол за «Копер»[4]. В 2015 году он помог команде завоевать Кубок Словении. В начале 2016 года Палчич перешёл в «Марибор». 21 сентября в матче против своей бывшей команды «Копера» он дебютировал за новый клуб[5]. В своём дебютном сезоне Матей стал чемпионом страны и завоевал национальный кубок.