Пау родился в Жироне, Каталония, и является воспитанником академии «Эспаньола». Свой дебютный матч за резервную команду «Эспаньола» он сыграл в сезоне 2013/14 в Сегунде В.
12 июня 2014 года подписал новый четырёхлетний контракт с «Эспаньолом» и был переведен в основной состав[3][4]. Свой первый матч в основе сыграл 17 декабря того же года в победном 1:0 матче против «Алавес» в Кубке Испании[5] и оставался основным вратарем команды в турнире, в котором его команда дошла до полуфинала впервые за девять лет[6][7].
В Примере дебютировал 1 февраля 2015 года, после того как основной вратарь Кико Касилья был удалён на 40-й минуте матча с «Севильей». После ухода Касильи в «Реал Мадрид» Пау стал основным вратарем «Эспаньола»[8].
4 июля 2018 года подписал пятилетний контракт с клубом «Реал Бетис»[9]. В единственном сезоне за севильский клуб Лопес пропустил только 5 матчей, а команда заняла 10 место[10].
9 июля 2019 года за 23.4 миллионов € подписал пятилетний контракт с «Ромой»[11][12]. За римский клуб дебютировал 25 августа в домашней игре против «Дженоа» (3:3)[13].