Пелкас — воспитанник клуба ПАОК. 2 августа 2012 года в отборочном матче Лиги Европы против израильской «Бней Иегуды» он дебютировал за основной состав[3]. 9 августа в ответном поединке Димитриос забил свой первый гол за ПАОК[4]. 3 сентября в матче против столичного «Атромитоса» он дебютировал в греческой Суперлиге[5]. Летом 2013 года для получения игровой практики Пелкас на правах аренды перешёл в «Аполлон» из Каламарьи. 30 сентября в матче против «Пиерикоса» он дебютировал в греческой футбольной лиге[6]. 6 октября в поединке против «Анагенниси» из Яницы Димитриос забил свой первый гол за «Аполлон»[7]. 12 января 2014 года в матче против «Анагенниси» он сделал хет-трик[8].
После окончания аренды Пелкас вернулся в ПАОК и закрепился в основном составе. 8 декабря 2016 года в матче Лиги Европы против либерецкого «Слована» он отметился забитым мячом[11]. В том же сезоне Димитриос помог клубу выиграть Кубок Греции, а через год повторил достижение. 8 августа 2018 года в матче квалификации Лиги чемпионов против московского «Спартака» он отметился забитым мячом[12]. 8 января 2020 года подписал контракт с Фенербахче. Не стал продлевать контракт с Фенербахче в 2024. Подписал контракт с Истанбул Башакшехир сроком на 4 года.[13]