Меню Главная Случайная статья Настройки Периодическое состояние Материал из https://ru.wikipedia.org Периодическое состояние — это такое состояние цепи Маркова, которое навещается цепью только через промежутки времени, кратные фиксированному числу. Содержание 1 Период состояния 2 Замечание 3 Периодические состояния и цепи 4 Примечания Период состояния Пусть дана однородная цепь Маркова с дискретным временем ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$ с матрицей переходных вероятностей ${\displaystyle P}$. В частности, для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, матрица ${\displaystyle P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)}$ является матрицей переходных вероятностей за ${\displaystyle n}$ шагов. Рассмотрим последовательность ${\displaystyle p_{jj}^{(n)},\,n\in \mathbb {N} }$. Число ${\displaystyle d(j)=\gcd \left(n\in \mathbb {N} \mid p_{jj}^{(n)}>0\right)}$, где ${\displaystyle \gcd }$ обозначает наибольший общий делитель, называется периодом состояния ${\displaystyle j}$. Замечание Таким образом, период состояния ${\displaystyle j}$ равен ${\displaystyle d(j)}$, если из того, что ${\displaystyle p_{jj}^{(n)}>0}$, следует, что ${\displaystyle n}$ делится на ${\displaystyle d(j)}$. Периодические состояния и цепи Если ${\displaystyle d(j)>1}$, то состояние ${\displaystyle j}$ называется периодическим. Если ${\displaystyle d(j)=1}$, то состояние ${\displaystyle j}$ называется апериодическим[1]. Периоды сообщающихся состояний совпадают: ${\displaystyle (i\leftrightarrow j)\Rightarrow (d(i)=d(j))}$. Таким образом период любого неразложимого класса цепи Маркова определён и равен периоду любого своего представителя. Соответственно, классы делятся на периодические и апериодические. Если цепь Маркова неразложима, то периоды всех её состояний совпадают и принимаемое ими общее значение называется периодом цепи. Цепь называется периодической, если её период больше единицы, и апериодической в противном случае. Примечания Ширяев А. Н. Вероятность. — М:.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 640 с. — ISBN 5-02-013995-6.