Меню Главная Случайная статья Настройки Квантиль Материал из https://ru.wikipedia.org Квантиль — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью. Если вероятность задана в процентах, то квантиль называется процентилем или перцентилем. Например, фраза «90-й процентиль массы тела у новорожденных мальчиков составляет 4 кг»[1] означает, что 90 % мальчиков рождаются с весом, меньшим либо равным 4 кг, а 10 % мальчиков рождаются с весом, большим либо равным 4 кг. Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 Медиана и квартили 4 Дециль 5 Процентиль 6 Квантили стандартного нормального распределения 7 См. также 8 Примечания 9 Ссылки Определение Пусть ${\displaystyle (\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )}$ - вероятностное пространство и ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины ${\displaystyle X}$. Пусть также фиксировано ${\displaystyle \alpha \in (0,\;1)}$. Тогда ${\displaystyle \alpha }$-квантилем (или квантилью уровня (порядка) ${\displaystyle \alpha }$) распределения ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ называется число ${\displaystyle x_{\alpha }\in \mathbb {R} }$ такое, что[2] ${\displaystyle \mathbb {P} (X\leqslant x_{\alpha })\geqslant \alpha ,}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (X\geqslant x_{\alpha })\geqslant 1-\alpha .}$ В некоторых источниках (например, в англоязычной литературе) ${\displaystyle k}$-м ${\displaystyle q}$-квантилем называется квантиль уровня ${\displaystyle k/q}$, то есть ${\displaystyle (k/q)}$-квантиль в предыдущих обозначениях. Замечания Если распределение непрерывно, то ${\displaystyle \alpha }$-квантиль однозначно задаётся уравнением ${\displaystyle F_{X}(x_{\alpha })=\alpha ,}$ где ${\displaystyle F_{X}}$ — функция распределения ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$. Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных интервалов равенство: ${\displaystyle \mathbb {P} \left(x_{\frac {1-\alpha }{2}}\leqslant X\leqslant x_{\frac {1+\alpha }{2}}\right)=\alpha .}$ Для эмпирического распределения ${\displaystyle \alpha }$-квантиль можно задать следующим способом: составляем вариационный ряд значений ${\displaystyle V_{0}\leqslant V_{1}\leqslant \dots \leqslant V_{N-1}}$ (выборка имеет объём ${\displaystyle N}$), а также считаем, что ${\displaystyle V_{N}=V_{N-1}}$ (это необходимо при вычислении 100 % квантили по приводимым ниже формулам); находим величину ${\displaystyle K=\lfloor \alpha \cdot (N-1)\rfloor }$; сравниваем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \alpha \cdot N}$: a) если ${\displaystyle K+1<\alpha N}$, то полагаем ${\displaystyle x_{\alpha }=V_{K+1}}$; б) если ${\displaystyle K+1=\alpha N}$, то полагаем ${\displaystyle x_{\alpha }=(V_{K}+V_{K+1})/2}$; в) если ${\displaystyle K+1>\alpha N}$, то полагаем ${\displaystyle x_{\alpha }=V_{K}}$. Заданный таким образом ${\displaystyle \alpha }$-квантиль удовлетворяет приведенному выше определению. В некоторых случаях (при большом объёме выборки и эмпирическом распределении, близком к непрерывному) вместо равенства ${\displaystyle K+1=\alpha N}$ можно использовать приближённое сравнение ${\displaystyle |K+1-\alpha N|<1/N}$ (это позволит, например, квантиль уровня 1/3 представлять как 0,33…333 при компьютерной обработке данных). Медиана и квартили 0,25-квантиль называется первым (или нижним) квартилем (от лат. quarta — четверть); 0,5-квантиль называется медианой (от лат. medina — середина) или вторым квартилем; 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) квартилем. Интерквартильным размахом (англ. Interquartile range) называется разность между третьим и первым квартилями, то есть ${\displaystyle x_{0{,}75}-x_{0{,}25}}$. Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является робастным аналогом дисперсии. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних. Дециль Дециль характеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят её на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля, от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля. Так же, как в случае моды и медианы, у интервального вариационного ряда распределения каждый дециль (и квартиль) принадлежит определённому интервалу и имеет вполне определённое значение[3]. Процентиль ${\displaystyle p}$-м процентилем называют квантиль уровня ${\displaystyle \alpha =p/100}$. Соответственно, медиана является 50-м процентилем, а первый и третий квартиль — 25-м и 75-м процентилями соответственно. В целом, понятия квантиль и процентиль взаимозаменяемы, так же, как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная. Процентили также называются перцентилями или центилями. Квантили стандартного нормального распределения Вероятность (уровень квантили), % 99,99 99,90 99,00 97,72 97,50 95,00 90,00 84,13 50,00 Квантиль (округлённый до тысячных)[4] 3,719 3,09 2,326 1,999 1,96 1,645 1,282 1 0 См. также Квантили распределения Стьюдента Квантили распределения хи-квадрат Нормальное распределение Доверительный интервал Наукометрия Примечания Руководство участкового педиатра. — ГЭОТАР-Медиа, 2008. — С. 44. — 354 с. Ссылки