Меню Главная Случайная статья Настройки Полилогарифм Материал из https://ru.wikipedia.org Полилогарифм — специальная функция, обозначаемая ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$ и определяемая как бесконечный степенной ряд ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}},}$ где s и z — комплексные числа, причём ${\displaystyle |z|<1}$. Для иных z делается обобщение с помощью аналитического продолжения. Карта высот полилогарифма на комплексной плоскости ${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}(z)}$ Частным случаем является ${\displaystyle s=1}$, при котором ${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$. Функции ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)}$ и ${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}(z)}$ получили названия дилогарифма и трилогарифма соответственно. Для полилогарифмов различных порядков справедливо соотношение ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}\,\mathrm {d} t.}$ Альтернативными определениями полилогарифма являются интегралы Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна. Содержание 1 Частные значения 2 Появление при вычислении 3 Литература 4 Ссылки Частные значения ${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}({\tfrac {1}{2}})=\ln 2}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln 2)^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)\,}$ (где ${\displaystyle \,\zeta (3)\,}$ — постоянная Апери) ${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={z \over 1-z}}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)={z \over (1-z)^{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)={z\,(1+z) \over (1-z)^{3}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)={z\,(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{-4}(z)={z\,(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}\,.}$ Появление при вычислении Полилогарифмы различных порядков появляются при вычислении многих рядов и интегралов. В частности: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }n^{2}\ln \left(1+{\frac {1}{4n^{4}}}\right)={\frac {\operatorname {Li} _{2}\left(-e^{-\pi }\right)}{\pi }}+{\frac {\operatorname {Li} _{3}\left(-e^{-\pi }\right)}{\pi ^{2}}}+{\frac {\pi }{6}}-{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{2}}}}$ Литература Abel, N.H. uvres compltes de Niels Henrik Abel Nouvelle dition, Tome II (фр.) / Sylow, L.; Lie, S.. — Christiania [Oslo]: Grndahl & Sn[англ.], 1881. — P. 189—193. (this 1826 manuscript was only published posthumously.) Bailey, D.H.[англ.]; Borwein, P.B.[англ.]; Plouffe, S.[англ.]. On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants (англ.) // Mathematics of Computation[англ.] : journal. — 1997. — April (vol. 66, no. 218). — P. 903—913. — doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9. Boersma, J.; Dempsey, J.P. On the evaluation of Legendre's chi-function (англ.) // Mathematics of Computation[англ.] : journal. — 1992. — Vol. 59, no. 199. — P. 157—163. — doi:10.2307/2152987. — . Borwein, J.M.; Bradley, D.M.; Broadhurst, D.J.; Lisonek, P. Special Values of Multiple Polylogarithms (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 2001. — Vol. 353, no. 3. — P. 907—941. — doi:10.1090/S0002-9947-00-02616-7. Clunie, J. On Bose-Einstein functions (англ.) // Proceedings of the Physical Society, Section A[англ.] : journal. — 1954. — Vol. 67, no. 7. — P. 632—636. — doi:10.1088/0370-1298/67/7/308. Cohen, H.; Lewin, L.; Zagier, D. A Sixteenth-Order Polylogarithm Ladder (неопр.) // Experimental Mathematics. — 1992. — Т. 1, № 1. — С. 25—34. Архивировано 1 марта 2012 года. Coxeter, H.S.M.[англ.]. The functions of Schlfli and Lobatschefsky (неопр.) // Quarterly Journal of Mathematics (Oxford). — 1935. — Т. 6, № 1. — С. 13—29. — doi:10.1093/qmath/os-6.1.13. Cvijovic, D.; Klinowski, J. Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms (англ.) // Proceedings of the American Mathematical Society : journal. — 1997. — Vol. 125, no. 9. — P. 2543—2550. — doi:10.1090/S0002-9939-97-04102-6. Cvijovic, D. New integral representations of the polylogarithm function (англ.) // Proceedings of the Royal Society (London), Series A : journal. — 2007. — Vol. 463, no. 2080. — P. 897—905. — doi:10.1098/rspa.2006.1794. Fornberg, B.; Klbig, K.S. Complex zeros of the Jonquire or polylogarithm function (англ.) // Mathematics of Computation[англ.] : journal. — 1975. — Vol. 29, no. 130. — P. 582—599. — doi:10.2307/2005579. — . GNU Scientific Library. Reference Manual  (неопр.) (2010). Дата обращения: 13 июня 2010. Архивировано 14 мая 2012 года. Guillera, J.; Sondow, J. Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent (англ.) // The Ramanujan Journal[англ.] : journal. — 2008. — Vol. 16, no. 3. — P. 247—270. — doi:10.1007/s11139-007-9102-0. — arXiv:math.NT/0506319. Jonquire, A. Note sur la srie ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{s}}}}$ (фр.) // Bulletin de la Socit Mathmatique de France[англ.]. — 1889. — Т. 17. — С. 142—152. Klbig, K.S.; Mignaco, J.A.; Remiddi, E. On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation (англ.) // BIT : journal. — 1970. — Vol. 10. — P. 38—74. — doi:10.1007/BF01940890. Kirillov, A.N. Dilogarithm identities (англ.) // Progress of Theoretical Physics Supplement[англ.] : journal. — 1995. — Vol. 118. — P. 61—142. — doi:10.1143/PTPS.118.61. — arXiv:hep-th/9408113. Markman, B. The Riemann Zeta Function (неопр.) // BIT. — 1965. — Т. 5. — С. 138—141. Maximon, L.C. The Dilogarithm Function for Complex Argument (неопр.) // Proceedings of the Royal Society (London), Series A. — 2003. — Т. 459, № 2039. — С. 2807—2819. — doi:10.1098/rspa.2003.1156. McDougall, J.; Stoner, E.C. The computation of Fermi-Dirac functions (неопр.) // Philosophical Transactions of the Royal Society (London), Series A. — 1938. — Т. 237, № 773. — С. 67—104. — doi:10.1098/rsta.1938.0004. Nielsen, N. Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen (нем.) // Nova Acta Leopoldina. — Halle – Leipzig, Germany: Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher, 1909. — Т. XC, № 3. — С. 121—212. Robinson, J.E. Note on the Bose-Einstein integral functions (неопр.) // Physical Review, Series 2. — 1951. — Т. 83, № 3. — С. 678—679. — doi:10.1103/PhysRev.83.678. Rogers, L.J. On function sum theorems connected with the series ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{2}}}}$ (англ.) // Proceedings of the London Mathematical Society (2) : journal. — 1907. — Vol. 4, no. 1. — P. 169—189. — doi:10.1112/plms/s2-4.1.169. Truesdell, C. On a function which occurs in the theory of the structure of polymers (англ.) // Annals of Mathematics, Series 2 : journal. — 1945. — Vol. 46, no. 1. — P. 144—157. — doi:10.2307/1969153. — . Wood, D.C. The Computation of Polylogarithms. Technical Report 15-92*  (неопр.) (PS). Canterbury, UK: University of Kent Computing Laboratory (June 1992). Дата обращения: 1 ноября 2005. Архивировано 14 мая 2012 года. Zagier, D. (1989). The dilogarithm function in geometry and number theory. Number Theory and Related Topics: papers presented at the Ramanujan Colloquium, Bombay, 1988. Studies in Mathematics. Vol. 12. Bombay: Tata Institute of Fundamental Research and Oxford University Press. pp. 231–249. ISBN 0-19-562367-3. (also appeared as «The remarkable dilogarithm» in Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988), pp. 131—145, and as Chapter I of (Zagier 2007).) Zagier, D. Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II – On Conformal Field Theories, Discrete Groups and Renormalization (англ.) / Cartier, P.; Julia, B.; Moussa, P.; Vanhove, P.. — Berlin: Springer-Verlag, 2007. — P. 3—65. — ISBN 978-3-540-30307-7. Ссылки Weisstein, Eric W. Polylogarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. Dilogarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.