Меню Главная Случайная статья Настройки Совершенная группа Материал из https://ru.wikipedia.org Другое значение этого термина: группа, совпадающая со своим коммутантом Совершенная группа[1] группа ${\displaystyle G}$, такая что отображение ${\displaystyle G\to Aut(G)}$ является изоморфизмом. Это отображение посылает элемент ${\displaystyle g\in G}$ в автоморфизм сопряжения ${\displaystyle s_{g}:h\to ghg^{-1}}$. Инъективность этого отображения равносильна тривиальности центра, а сюръективность — тому, что каждый автоморфизм является внутренним. Примерами являются симметрические группы ${\displaystyle S_{n}}$ при ${\displaystyle n\neq 2,6}$ (теорема Гёльдера); при этом группа ${\displaystyle S_{2}=\mathbb {Z} _{2}}$ имеет нетривиальный центр, а у группы ${\displaystyle S_{6}}$ существует внешний автоморфизм[англ.]. Автоморфизмы простой группы образуют почти простую группу, а автоморфизмы неабелевой простой группы — совершенную группу. Не любая группа, изоморфная своей группе автоморфизмов, является совершенной — необходимо, чтобы изоморфизм осуществлялся отображением сопряжения. Примером группы, для которой ${\displaystyle G=Aut(G)}$, но которая не является совершенной, является группа диэдра ${\displaystyle D_{4}}$[2]. Примечания Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 2-е изд. — Москва: Наука, 1977. — С. 62. — 240 с. Robinson, section 13.5 Литература Ссылки Joel David Hamkins[англ.]: How tall is the automorphism tower of a group?