Меню Главная Случайная статья Настройки Полярный момент инерции Материал из https://ru.wikipedia.org Полярный момент инерции — интегральная сумма произведений площадей, элементарных площадок dA на квадрат их расстояния от полюса — 2, взятого по всей площади сечения. То есть: ${\displaystyle J_{p0}=\int _{A}\rho ^{2}\,dA}$ Эта величина используется для прогнозирования способности объекта оказывать сопротивление кручению. Она имеет размерность единиц длины в четвёртой степени (м4, см4) и может быть лишь положительной. Для площади сечения, имеющей форму круга радиусом r полярный момент инерции равен: ${\displaystyle J_{p0}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\phi ={\frac {\pi r^{4}}{2}}={\frac {\pi (D/2)^{4}}{2}}={\frac {\pi D^{4}}{32}}.}$ Если совместить начало декартовой прямоугольной системы координат 0 с полюсом полярной системы (см. рис.), то: ${\displaystyle J_{p0}=J_{x}+J_{y}}$ потому что ${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}.}$ Содержание 1 Применение 2 Полярный момент инерции для некоторых случаев 3 См. также 4 Литература Применение Полярный момент инерции используется в формулах, которые описывают зависимость между касательными напряжениями и крутящим моментом, который их вызывает. Касательное напряжение: ${\displaystyle \tau ={\frac {Tr}{J_{p0}}}}$ где ${\displaystyle T}$ — крутящий момент, ${\displaystyle r}$ — расстояние от оси кручения ${\displaystyle {J_{p0}}}$ — полярный момент инерции. Полярный момент инерции для некоторых случаев Для круглого сплошного сечения: ${\displaystyle J_{p0}={\frac {\pi D^{4}}{32}}}$ где ${\displaystyle D}$ — диаметр круга. Для кольцевого сечения (полый вал): ${\displaystyle J_{p0}={\frac {\pi D^{4}}{32}}\left(1-{\frac {d^{4}}{D^{4}}}\right),}$ где ${\displaystyle D}$ — внешний диаметр кольца, ${\displaystyle d}$ — внутренний диаметр кольца. См. также Полярный момент сопротивления Момент инерции Литература Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. Изд. 10-е, перераб. и доп. - М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999 год. Рецензенты академик РАН Образцов И. Ф. и д. т. н профессор Чирков И. П.