Меню Главная Случайная статья Настройки Постоянная Гельфонда Материал из https://ru.wikipedia.org Постоянная Гельфонда — трансцендентное число ${\displaystyle e^{\pi }}$ (то есть e в степени ). Названа в честь Александра Осиповича Гельфонда. Доказательство трансцендентности этого числа — один из пунктов седьмой проблемы Гильберта. Содержание 1 Численное значение 2 Свойства 3 Примечания 4 См. также 5 Литература Численное значение Десятичное представление постоянной Гельфонда: ${\displaystyle e^{\pi }\approx 23{,}140\,692\,632\,779\,269\,005\,729\,086\,367\,948\,547\ldots }$ Его приближённые значения можно получать[1], используя рекуррентно определённую последовательность ${\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}},}$ где ${\displaystyle k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},}$ а именно следующее выражение: ${\displaystyle e^{\pi }\approx \left({\frac {1}{4}}k_{n}\right)^{-2^{1-n}}.}$ При этом сходимость таких приближений к ${\displaystyle e^{\pi }}$ достаточно быстрая. Численное значение постоянной также представимо в виде простой непрерывной дроби[2]: [23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, …]. Свойства ${\displaystyle (e^{\pi })^{i}=-1}$ ${\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i}}$ ${\displaystyle e^{\pi }-\pi =19,9990999791894...}$ Каждая дополнительная орбита серий отражений фотонной сферы вокруг невращающейся чёрной дыры Шварцшильда определяется множителем ${\displaystyle e^{2\pi }=535.4916555247...}$ (квадрат постоянной Гельфонда)[3]. Примечания Jonathan M. Borwein, David H. Bailey. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. — Wellesley, MA: AK Peters, 2003. — P. 137. — 350 p. — ISBN 978-1568812113. последовательность A058287 в OEIS Divergent reflections around the photon sphere of a black hole | Scientific Reports  (неопр.). Дата обращения: 23 июля 2021. Архивировано 23 июля 2021 года. См. также Постоянная Гельфонда — Шнайдера ${\displaystyle (2^{\sqrt {2}})}$ Литература Weisstein, Eric W. Gelfond’s Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Gelfond’s Constant (англ.) на сайте PlanetMath.