Меню Главная Случайная статья Настройки Постоянные Фейгенбаума Материал из https://ru.wikipedia.org Постоянные Фейгенбаума — универсальные постоянные, характеризующие бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к Динамическому хаосу (сценарий Фейгенбаума). Открыты Митчеллом Фейгенбаумом в 1975 году. Содержание 1 Первая константа Фейгенбаума 2 Вторая константа Фейгенбаума 3 Свойства констант Фейгенбаума 4 См. также 5 Ссылки 6 Примечания Первая константа Фейгенбаума Одна из простейших динамических систем, где происходит каскад бифуркаций — это рекуррентные последовательности ${\displaystyle x_{n+1}=f_{a}(x_{n})}$, где ${\displaystyle a}$ — некоторый параметр. Один из простейшиx примеров функции ${\displaystyle f_{a}(x)}$ — логистическое отображение ${\displaystyle x_{n+1}=f_{a}(x_{n})=ax_{n}(1-x_{n})}$ В зависимости от параметра ${\displaystyle a}$, в системе может присутствовать неподвижная точка или предельный цикл. При изменении ${\displaystyle a}$ может произойти бифуркация, при которой предельный цикл удваивает свой период. Обозначим за ${\displaystyle a_{n}}$ значения ${\displaystyle a}$, при которых происходит удвоение периода. Оказывается, что при больших ${\displaystyle n}$ значения ${\displaystyle a_{n}}$ сходятся к фиксированному значению ${\displaystyle a_{\infty }}$. Сходимость происходит по геометрической прогрессии, причём показатель этой геометрической прогрессии оказывается одинаковым для широкого класса функций ${\displaystyle f_{a}(x)}$ (универсальность Фейгенбаума). Этот показатель называется первой константой Фейгенбаума[1] ${\displaystyle \delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n-1}-a_{n-2}}{a_{n}-a_{n-1}}}=4{,}669\;201\;609\;102\;990\;671\;853\;203\;820\;466\;\ldots ,}$ При ${\displaystyle a>a_{\infty }}$ динамика системы становится хаотичной. Физический смысл первой константы Фейгенбаума — скорость перехода к хаосу систем, испытывающих удвоение периода. Она характеризует каскад удвоения периода во многих сложных динамических системах, таких, как система Рёсслера, турбулентность, рост популяций и пр. Вторая константа Фейгенбаума Вторая константа Фейгенбаума[2] ${\displaystyle \alpha =2{,}502\;907\;875\;095\;892\;822\;283\;902\;873\;218\;\ldots }$ — определяется как предел отношения между шириной ветвей на диаграмме бифуркаций (см. рисунок). Эта константа тоже возникает в описании многих динамических систем. Свойства констант Фейгенбаума Предполагается, что обе константы являются трансцендентными, хотя это ещё не доказано. См. также Каскад бифуркаций Бифуркационная диаграмма Универсальность Фейгенбаума Ссылки Д. И. Трубецков. Турбулентность и детерминированный хаос Feigenbaum Constant (англ.) Уравнение, которое меняет взгляд на мир [Veritasium] https://www.youtube.com/watch?v=DH1cv0Rdf2w Примечания последовательность A006890 в OEIS последовательность A006891 в OEIS