Меню Главная Случайная статья Настройки Преобразование Мелера — Фока Материал из https://ru.wikipedia.org Преобразование Мелера — Фока функции ${\displaystyle f(x)}$ имеет вид: ${\displaystyle F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,\quad \tau \geqslant 0,}$ где ${\displaystyle P_{\nu }(x)}$ — сферическая функция Лежандра первого рода. Если ${\displaystyle f(x)}$ — вещественная функция, причём ${\displaystyle f(x)f(x)P_{-{\frac {1}{2}}}(x)\in L(1,+\infty ),}$ тогда интеграл ${\displaystyle F(\tau )}$, понимаемый в смысле Лебега, представляет вещественную функцию, определённую для любых ${\displaystyle \tau \geqslant 0}$. Обратное преобразование имеет вид: ${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )F(\tau )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }d\tau .}$ Данное преобразование было впервые введено Г. Ф. Мелером в 1881 году, основные касающиеся его теоремы были доказаны В. А. Фоком. Преобразование Мелера — Фока находит применение при решении задач теории потенциала, теории теплопроводности, при решении линейных интегральных уравнений и других задач математической физики. Содержание 1 Другие определения 2 Вычисление 3 Равенство Парсеваля 4 Пример использования 5 Обобщённое преобразование Мелера — Фока 5.1 Частные случаи 6 Литература Другие определения Иногда определение ${\displaystyle F(\tau )}$ распространяют и на ${\displaystyle \tau <0}$, полагая ${\displaystyle F(-\tau )=F(\tau ).}$ В основе теории преобразования Мелера — Фока лежит разложение произвольной функции в интеграл типа Фурье: ${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{\infty }\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }f(\xi )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\xi )d\xi d\tau .}$ На его основе могут быть получены другие возможные определения преобразования Мелера — Фока. В литературе встречается определение: ${\displaystyle {\tilde {F}}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)f(\tau )d\tau ,\quad x\geqslant 1.}$ Тогда, если ${\displaystyle f(\tau )\in L[0,\infty )}$, ${\displaystyle |f'(\tau )|}$ — локально интегрируема на ${\displaystyle [0,\infty )}$ и ${\displaystyle f(0)=0}$, верна формула обращения: ${\displaystyle f(\tau )=\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x){\tilde {F}}(x)dx.}$ Вычисление Фактическое вычисление преобразования Мелера — Фока осуществляется посредством интегральных представлений функций Лежандра и последующей смены порядка интегрирования. Примерами, таких интегральных представлений являются: ${\displaystyle P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\alpha }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s)}}}ds,\quad \alpha \geqslant 0,}$ (данное представление также называют интегралом Мелера) ${\displaystyle P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\mathrm {ch} \,\pi \tau \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s)}}}ds,\quad \alpha \geqslant 0.}$ Равенство Парсеваля Для преобразования Мелера — Фока может быть получен аналог равенства Парсеваля для преобразования Фурье. Пусть ${\displaystyle g_{k}(x),\;i=1,2}$ — две произвольные функции, удовлетворяющие условиям: ${\displaystyle g_{k}(x)x^{-{\frac {1}{2}}}\ln(1+x)\in L(1,\infty ),\quad g_{k}(x)\in L_{2}(1,\infty ),}$ а преобразование Мелера — Фока задано равенствами: ${\displaystyle G_{k}(\tau )=\int _{1}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)g_{k}(x)dx,\quad i=1,2,}$ ${\displaystyle g_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)G_{k}(\tau )dx,\quad i=1,2,}$ тогда выполнено равенство Парсеваля для преобразования Мелера — Фока: ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }G_{1}(\tau )G_{2}(\tau )d\tau =\int _{1}^{\infty }g_{1}(x)g_{2}(x)dx.}$ Пример использования Рассмотрим пример решения с помощью преобразования Мелера — Фока интегрального уравнения: ${\displaystyle f(x)=g(x)+\lambda \int _{1}^{\infty }{\frac {f(s)}{x+s}}ds,\quad x\geqslant 1,\quad \pi \lambda <1.}$ Пусть преобразования Мелера — Фока ${\displaystyle F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,}$ ${\displaystyle G(\tau )=\int _{1}^{\infty }g(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,}$ существуют. Тогда уравнение может быть преобразовано к виду: ${\displaystyle F(\tau )=G(\tau )+{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )}}F(\tau ),}$ откуда: ${\displaystyle F(\tau )={\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )}}}}.}$ Если ${\displaystyle g(x)}$ — непрерывная функция ограниченной вариации во всяком конечном интервале ${\displaystyle x\in (1,b),}$ причём ${\displaystyle g(x)P_{\frac {1}{2}}(x)\in L(1,+\infty ),}$ ${\displaystyle G(\tau )\tau \in L(0,+\infty ),}$ то посредством формулы обращения получим решение исходного уравнения: ${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \mathrm {th} \,(\pi \tau ){\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )}}}}P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)d\tau .}$ Обобщённое преобразование Мелера — Фока Обобщённое преобразование Мелера — Фока задаётся формулой: ${\displaystyle {\tilde {F}}_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }^{(k)}f(\tau )d\tau ,}$ где ${\displaystyle P_{\nu }^{(k)}(x)}$ — присоединённые функции Лежандра 1-го рода. Соответствующая формула обращения: ${\displaystyle f(\tau )={\frac {\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )}{2}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}-k+ix\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-k-ix\right)\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }^{(k)}(x){\tilde {F}}_{k}(x)dx.}$ Частные случаи При ${\displaystyle k=0}$ получится случай обычного преобразования Мелера — Фока ${\displaystyle {\tilde {F}}(x)}$. При ${\displaystyle k={\frac {1}{2}},x=\,\mathrm {ch} \,\alpha }$ получится косинус-преобразование Фурье. При ${\displaystyle k=-{\frac {1}{2}},x=\,\mathrm {ch} \,\alpha }$ получится синус-преобразование Фурье. Литература Математическая энциклопедия / Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав. ред.) [и др.] — М.: Советская Энциклопедия, 1977—1985. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Физматгиз, 1961.