Меню Главная Случайная статья Настройки Присоединённое представление алгебры Ли Материал из https://ru.wikipedia.org Присоединённым представлением алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ называется линейное представление ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ в модуле ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, действующее по формуле ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}y=[x,y],\ \ x,y\in {\mathfrak {g}},}$ где ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ операция в алгебре ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Свойства Ядро ${\displaystyle \ker \operatorname {ad} }$ есть центр алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Присоединённые операторы ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$ являются дифференцированиями алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и называются внутренними дифференцированиями. Образ ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ называется присоединённой алгеброй и является идеалом в алгебре Ли ${\displaystyle \operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}}$ всех дифференцирований алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, причём ${\displaystyle \operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}/\operatorname {ad} \,{\mathfrak {g}}}$ есть пространство ${\displaystyle H^{1}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}})}$ 1-мерных когомологий алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, определяемых присоединённым представлением. В частности, ${\displaystyle \operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}=\operatorname {ad} \,{\mathfrak {g}}}$, если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ полупростая алгебра Ли над полем характеристики 0. Литература Джекобсон Н. Алгебры Ли, — М., 1964; Понтрягин Л. С. Непрерывные группы, — 3 изд. — М., 1973; Серр Ж. — П. Алгебры Ли и группы Ли, пер. c англ. и франц., М., 1969; Хамфрис Дж. Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980. См. также Присоединённое представление группы Ли