Меню Главная Случайная статья Настройки Производная Римана Материал из https://ru.wikipedia.org Производная Римана[1], производная Шварца или вторая симметрическая производная, функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ — предел ${\displaystyle D^{2}f=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}-\varepsilon )-2f(x_{0})+f(x_{0}+\varepsilon )}{\varepsilon ^{2}}}.}$ Введена Риманом в 1854, производная Римана получила широкое применение в теории представления функций тригонометрическими рядами; в частности, в связи с методом суммирования Римана. Связанные определения Верхний и нижний пределы ${\displaystyle {\frac {f(x_{0}-\varepsilon )-2f(x_{0})+f(x_{0}+\varepsilon )}{\varepsilon ^{2}}}}$ при ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ называются соответственно верхней ${\displaystyle {\bar {D}}^{2}f(x_{0})}$ и нижней ${\displaystyle {\underline {D}}_{2}f(x_{0})}$ производной Римана. Свойства Если в точке ${\displaystyle x_{0}}$ существует 2-я производная ${\displaystyle f''(x_{0}}$), то существует производная Римана и ${\displaystyle D^{2}f(x_{0})=f''(x_{0})}$. Обратное неверно. Примечания И. М. Виноградов. Римана производная // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.