Меню Главная Случайная статья Настройки Простой элемент Материал из https://ru.wikipedia.org Простой элемент обобщенное понятие простого числа на случай произвольного коммутативного моноида с двусторонним сокращением, определяется как не являющийся делителем единицы ненулевой элемент ${\displaystyle p\in G}$, такой, что произведение ${\displaystyle ab}$ может делиться на ${\displaystyle p}$ лишь тогда, когда хотя бы один из элементов ${\displaystyle a}$ или ${\displaystyle b}$ делится на ${\displaystyle p}$. Простой элемент всегда неприводим, в общем случае из неприводимости простоты не следует, но в гауссовой полугруппе понятия неприводимости и простоты совпадают, и более того, если всякий неприводимый элемент из ${\displaystyle G}$ является простым, то полугруппа ${\displaystyle G}$ — гауссова. Понятие естественным образом переносится на области целостности, в этом случае имеет место эквивалентность неприводимости и простоты элемента для факториальных (гауссовых) колец, и из простоты всех неприводимых элементов в области целостности следует, что кольцо факториально. Кроме того, простота элемента эквивалентна простоте главного идеала, им порождённого. Существуют также обобщения понятий простоты и неприводимости на некоммутативный случай. Литература Кон П. Свободные кольца и их связи. — М., 1975. Простой элемент — статья из Математической энциклопедии. О. А. Иванова