Меню Главная Случайная статья Настройки Пространство непрерывных функций Материал из https://ru.wikipedia.org Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функции (обычно обозначается ${\displaystyle {\mathrm {C} }[a,b]}$, иногда ${\displaystyle C^{0}[a,b]}$ или ${\displaystyle C^{(0)}[a,b]}$ или ${\displaystyle C(a,b)}$) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом: ${\displaystyle \|x\|_{{\mathbf {C} }[a,b]}=\max _{t\in [a,b]}|x(t)|}$ Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, так как сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости. Свойства Если последовательность ${\displaystyle x_{n}}$ элементов из ${\displaystyle {\mathrm {C} }[a,b]}$ сходится в этом пространстве к некоторой предельной функции ${\displaystyle x(t)}$, то ${\displaystyle x_{n}\rightrightarrows x}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$. Отсюда: ${\displaystyle {\mathrm {C} }[a,b]}$ — банахово пространство. Пространство непрерывных функций сепарабельно: счётное всюду плотное множество в нём образует множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Это утверждение получается как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. В ${\displaystyle {\mathrm {C} }[a,b]}$ не выполняется тождество параллелограмма, поэтому норма в нём не порождает никакого скалярного произведения. Вариации и обобщения Аналогичным образом это пространство строится так же и над областями и их замыканиями. В случае некомпактного множества максимум надо заменить на точную верхнюю грань. Итак, пространством непрерывных ограниченных функций (вектор-функций) ${\displaystyle C(X,Y)}$ называется множество всех непрерывных ограниченных функций ${\displaystyle x:X\to Y}$ со введённой на нём нормой: ${\displaystyle \|x\|_{C(X,Y)}=\sup _{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.}$ Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой: ${\displaystyle \|x\|=\int \limits _{a}^{b}|x(t)|\,dt}$ В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}(t)={\begin{cases}1,\quad t\geqslant {\frac {1}{n}}\\nt,\quad t\in (-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}})\\-1,\quad t\leqslant -{\frac {1}{n}}\end{cases}}}$ Его пополнение есть ${\displaystyle L_{1}[a,b]}$ — пространство суммируемых функций. Литература Колмогоров А. Н., Фомин С. И. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 2004.