Меню Главная Случайная статья Настройки Простые числа Рамануджана Материал из https://ru.wikipedia.org Простые числа Рамануджана — подпоследовательность простых чисел, связанная с теоремой Рамануджана, уточняющей постулат Бертрана относительно функции распределения простых чисел. Содержание 1 История 2 Определение 3 Границы и асимптотика 4 Примечания История В 1845 году Бертран выдвинул гипотезу, что ${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant 1}$ для всех ${\displaystyle x\geqslant 2}$, где ${\displaystyle \pi (x)}$ — функция распределения простых чисел, равная числу простых не превосходящих ${\displaystyle x}$. Эта гипотеза была доказана Чебышёвым в 1850 году. В 1919 году Рамануджан, отметив приоритет Чебышёва, доказал в двухстраничной статье более сильную теорему, которая и задаёт последовательность простых чисел Рамануджана:[1] ${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant 1,2,3,4,5,\ldots }$ для всех ${\displaystyle x\geqslant 2,11,17,29,41,\ldots }$ соответственно (последовательность A104272 в OEIS). Определение Простое число Рамануджана ${\displaystyle R_{n}}$ это наименьшее целое число, что для любого ${\displaystyle x\geqslant R_{n}}$ выполнено ${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geqslant n.}$ Согласно теореме Рамануджана эта разность для всех ${\displaystyle x\geqslant R_{n}}$ не меньше ${\displaystyle n}$ и стремится к бесконечности. Следует отметить, что ${\displaystyle R_{n}}$ обязательно является простым числом: ${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)}$, а следовательно и ${\displaystyle \pi (x),}$ должно возрасти, что возможно только если ${\displaystyle R_{n}}$ простое. Границы и асимптотика Оценка посредством элементарных функций[2]: ${\displaystyle 2n\ln 2n<R_{n}<4n\ln 4n.}$ Оценка посредством простых чисел[2][3]: ${\displaystyle p_{2n}<R_{n}<p_{3n}}$, где ${\displaystyle p_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-е простое число. Асимптотика[2]: ${\displaystyle R_{n}\sim p_{2n}}$ при ${\displaystyle n\to \infty .}$ Уточнённая оценка сверху[4]: ${\displaystyle R_{n}\leq {\frac {41}{47}}\,p_{3n}.}$ Все эти результаты были доказаны после 2008 года. Примечания Ramanujan, S. (1919), A proof of Bertrand's postulate, Journal of the Indian Mathematical Society, 11: 181–182, Архивировано из оригинала 26 мая 2018, Дата обращения: 11 июня 2019.. 1 2 3