Меню Главная Случайная статья Настройки Прямая Материал из https://ru.wikipedia.org Прямая — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий[1], их свойства и связь с другими понятиями (например, точки и плоскости) определяются аксиомами геометрии[2]. Прямая, наряду с окружностью, относится к числу древнейших геометрических фигур. Античные геометры считали эти две кривые «совершенными» и поэтому признавали только построения с помощью циркуля и линейки. Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «равно лежит на всех своих точках»[3]. Аналоги прямых могут быть определены также в некоторых типах неевклидовых пространств. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то отрезок прямой можно определить как самую короткую кривую, соединяющую эти точки. Например, в римановой геометрии роль прямых играют геодезические линии, которые являются кратчайшими; на сфере кратчайшими являются дуги больших кругов[4]. Содержание 1 Свойства прямой в евклидовой геометрии 2 Уравнения прямой на плоскости 2.1 Общее уравнение прямой 2.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом 2.3 Уравнение прямой в отрезках 2.4 Нормальное уравнение прямой 2.5 Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки 2.5.1 Уравнение прямой, проходящей через две точки на вещественной плоскости 2.5.2 Уравнение прямой, проходящей через две точки на комплексной плоскости 2.6 Векторное параметрическое уравнение прямой 2.7 Параметрические уравнения прямой 2.8 Каноническое уравнение прямой 2.9 Уравнение прямой в полярных координатах 2.10 Тангенциальное уравнение прямой 3 Уравнения прямой в пространстве 4 Взаимное расположение точек и прямых на плоскости 5 Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости 6 Некоторые специальные типы прямых 7 Ориентированная прямая 7.1 Определение ориентированной прямой 7.2 Линейный элемент 8 Примечания 9 Источники 10 Литература 11 Ссылки Свойства прямой в евклидовой геометрии Участки прямой, ограниченные двумя её точками, называются отрезками. Через любую точку можно провести бесконечно много прямых. Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую. Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке[5], или являются параллельными (следует из предыдущего). В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух несовпадающих прямых: прямые пересекаются; прямые параллельны; прямые скрещиваются. Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение). Уравнения прямой на плоскости Общее уравнение прямой Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах: ${\displaystyle Ax+By+C=0,}$ где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — произвольные постоянные а ${\displaystyle C}$ вычисляется как произведение ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ с обратным знаком учитывая что уравнение отличается на множитель, причём постоянные ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ не равны нулю одновременно. Приводя уравнение с целью получения известной ${\displaystyle C}$ а именно домножая на ненулевой коэффициент: ${\displaystyle ax+by-ab=0,}$ где новые величины ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ являются координатами точек на осях координат ${\displaystyle (b,0)}$ и ${\displaystyle (0,a)}$ через которые проходит прямая. Вычисление ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ происходит так: для ${\displaystyle y=0}$, ${\displaystyle x=-C/A=b}$, для ${\displaystyle x=0}$, ${\displaystyle y=-C/B=a}$. При ${\displaystyle A=0}$ прямая параллельна оси ${\displaystyle Ox}$, при ${\displaystyle B=0}$ — параллельна оси ${\displaystyle Oy}$. Вектор с координатами ${\displaystyle (A,B)}$ называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой. При ${\displaystyle C=0}$ прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде ${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.}$ Уравнение прямой с угловым коэффициентом Уравнение прямой линии, пересекающей ось ${\displaystyle Oy}$ в точке ${\displaystyle (0,\;b)}$ и образующей угол ${\displaystyle \varphi }$ с положительным направлением оси ${\displaystyle Ox}$: ${\displaystyle y=kx+b,\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi .}$ Коэффициент ${\displaystyle k}$ называется угловым коэффициентом прямой. В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси ${\displaystyle Oy.}$ (Иногда в этом случае формально говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность».) Уравнение прямой в отрезках Уравнение прямой линии, пересекающей ось ${\displaystyle Ox}$ в точке ${\displaystyle (a,\;0)}$ и ось ${\displaystyle Oy}$ в точке ${\displaystyle (0,\;b)}$: ${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\quad (a\neq 0,\;b\neq 0).}$ В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат. Нормальное уравнение прямой ${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta -p=0,}$ где ${\displaystyle p}$ — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а ${\displaystyle \theta }$ — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси ${\displaystyle Ox}$ и направлением этого перпендикуляра. Если ${\displaystyle p=0}$, то прямая проходит через начало координат, а угол ${\displaystyle \theta =\varphi +{\frac {\pi }{2}}}$ задаёт угол наклона прямой. Пусть дана прямая ${\displaystyle L.}$ Тогда ${\displaystyle OP\perp L}$ и ${\displaystyle |{\overrightarrow {OP}}|=p.}$ Рассмотрим для этого перпендикуляра его орт ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{p}}},|{\overrightarrow {e_{p}}}|=1.}$ Допустим, что угол между ${\displaystyle |{\overrightarrow {e_{p}}}|}$ и осью ${\displaystyle Ox}$ равен ${\displaystyle \theta .}$ Так как ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$ то можно записать: ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{p}}}=(\cos \theta ;\sin \theta ).}$ Теперь рассмотрим произвольную точку ${\displaystyle M(x,y).}$ Проведём радиус-вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}=(x,y).}$ Теперь найдём проекцию ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}}$ на вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{p}}}.}$ ${\displaystyle ({\overrightarrow {e_{p}}},{\overrightarrow {OM}})=x\cos \theta +y\sin \theta =p.}$ Следовательно, ${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta -p=0.}$ Это и есть нормальное уравнение прямой. Если прямая задана общим уравнением ${\displaystyle Ax+By+C=0,}$ то отрезки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b,}$ отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент ${\displaystyle k,}$ расстояние прямой от начала координат ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \cos \theta }$ и ${\displaystyle \sin \theta }$ выражаются через коэффициенты ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ следующим образом: ${\displaystyle a=-{\frac {C}{A}},\quad b=-{\frac {C}{B}},\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi =-{\frac {A}{B}},\quad \varphi =\theta -{\frac {\pi }{2}},}$ ${\displaystyle p={\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}.}$ Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие ${\displaystyle p>0.}$ В этом случае ${\displaystyle \cos \theta }$ и ${\displaystyle \sin \theta }$ являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если ${\displaystyle C=0,}$ то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен. Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки Если заданы две несовпадающие точки на вещественной плоскости с координатами ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}$ и ${\displaystyle (x_{2},\;y_{2})}$, то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением ${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0}$ или ${\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$ или в общем виде ${\displaystyle \left(y_{1}-y_{2}\right)x+\left(x_{2}-x_{1}\right)y+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)=0.}$ Если заданы две несовпадающие точки на комплексной плоскости ${\displaystyle z_{1}}$ и ${\displaystyle z_{2}}$, то прямая, проходящая через них, задаётся следующим уравнением: ${\displaystyle {\begin{vmatrix}z&{\bar {z}}&1\\z_{1}&{\bar {z}}_{1}&1\\z_{2}&{\bar {z}}_{2}&1\end{vmatrix}}=0}$ или в одну строку[6]: ${\displaystyle ({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})z+(z_{2}-z_{1}){\bar {z}}+(z_{1}{\bar {z}}_{2}-z_{2}{\bar {z}}_{1})=0.}$ Упростим запись этого уравнения[6]: ${\displaystyle {\bar {p}}z+p{\bar {z}}-2=0}$ (или ${\displaystyle \operatorname {Re} ({\bar {p}}z)=1)}$, положив ${\displaystyle p=2{\frac {z_{2}-z_{1}}{{\bar {z}}_{1}z_{2}-z_{1}{\bar {z}}_{2}}},}$ ${\displaystyle {\bar {p}}=2{\frac {{\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{1}}{z_{1}{\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{1}z_{2}}}.}$ Следовательно, прямая линия полностью определяется выбором комплексного числа ${\displaystyle p}$. Как точка на комплексной плоскости, так и прямая определяются одним вектором или двумя координатами. Комплексное числе ${\displaystyle p}$ называется вектором прямой, а его компоненты называются координатами прямой[6]. Определим геометрическую природу вектора прямой ${\displaystyle p}$, определяющего просто точку ${\displaystyle P}$ на комплексной плоскости, рассмотрев два его свойства[7]: из того, что в определении ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2{\frac {z_{2}-z_{1}}{{\bar {z}}_{1}z_{2}-z_{1}{\bar {z}}_{2}}}}$ знаменатель есть чисто мнимое комплексное число, следует, что вектор ${\displaystyle p}$ нормален к вектору ${\displaystyle z_{2}-z_{1}}$, то есть нормален к прямой ${\displaystyle z_{1}z_{2};}$ абсолютная величина знаменателя в определении ${\displaystyle p}$ равна удвоенной площади треугольника ${\displaystyle \triangle Oz_{1}z_{2}}$ с основанием ${\displaystyle z_{1}z_{2}}$, следовательно, абсолютная величина ${\displaystyle p}$ обратно пропорционален длине перпендикуляра, опущенного из начала координат ${\displaystyle O}$ к прямой ${\displaystyle z_{1}z_{2}.}$ Другими словами, точка ${\displaystyle P}$ есть инверсия основания этого перпендикуляра. Векторное параметрическое уравнение прямой Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором ${\displaystyle {\vec {r}}_{0},}$ конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой ${\displaystyle {\vec {u}}.}$ Параметр ${\displaystyle t}$ пробегает все действительные значения. ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+t{\vec {u}}.}$ Параметрические уравнения прямой Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде: ${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t,\\y=y_{0}+a_{y}t,\end{cases}}}$ где ${\displaystyle t}$ — произвольный параметр, ${\displaystyle a_{x},\;a_{y}}$ — координаты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ направляющего вектора прямой. При этом ${\displaystyle k={\frac {a_{y}}{a_{x}}},\quad a={\frac {a_{y}x_{0}-a_{x}y_{0}}{a_{y}}},\quad b={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{a_{x}}},}$ ${\displaystyle p={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {a_{x}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {a_{y}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}}.}$ Смысл параметра ${\displaystyle t}$ аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении. Каноническое уравнение прямой Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое: