Меню Главная Случайная статья Настройки Псевдотопологическое пространство Материал из https://ru.wikipedia.org Псевдотопологическое пространство — множество с дополнительной предельной структурой определённого типа (так называемой псевдотопологией). Исторически понятие псевдотопологического пространства появилось как обобщение топологического пространства. Псевдотопологические пространства были введены в 1959 г. Фишером [1]. Псевдотопологические пространства естественным образом возникают при построении дифференциального исчисления в пространствах без нормы.[2] Топологические пространства можно рассматривать как частные случаи псевдотопологических.[3] Определение Псевдотопологическое пространство ${\displaystyle E}$ представляет собой множество ${\displaystyle M}$, наделённое псевдотопологией. Множество ${\displaystyle M}$ называется несущим множеством пространства ${\displaystyle E}$ и обозначается через ${\displaystyle {\underline {E}}}$. Если фильтр ${\displaystyle \mathrm {X} }$ в ${\displaystyle E}$ сходится к точке ${\displaystyle x}$ в данной псевдотопологии, то это обозначается как ${\displaystyle \mathrm {X} \downarrow _{x}E}$. Псевдотопология в ${\displaystyle M}$ определяется заданием для каждого ${\displaystyle x\in M}$ некоторого семейства фильтров в ${\displaystyle M}$, удовлетворяющих следующим условиям: Если фильтр сходится к ${\displaystyle x}$, то к ${\displaystyle x}$ сходится и любой меньший фильтр. ${\displaystyle \mathrm {X} \downarrow _{x}E,\Psi \leqslant \mathrm {X} \Rightarrow \Psi \downarrow _{x}E}$ Если два фильтра сходятся к ${\displaystyle x}$, то к ${\displaystyle x}$ сходится и их верхняя грань. ${\displaystyle \mathrm {X} _{1}\downarrow _{x}E,\mathrm {X} _{2}\downarrow _{x}E\Rightarrow \mathrm {X} _{1}\vee \mathrm {X} _{2}\downarrow _{x}E}$ Фильтр ${\displaystyle \left[x\right]}$ сходится к ${\displaystyle x}$. ${\displaystyle \left[x\right]\downarrow _{x}E}$ Примечания Fisher H. R., Limesraume, Math. Ann., 137 (1959), 269-303 Фрёлихер, 1970, с. 6. Фрёлихер, 1970, с. 21. Литература Фрёлихер, А., Бухер В. Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы. — М.: Мир, 1970.