Пунгурас — воспитанник клубов «Промитеас Ларисса» и ПАОК. 21 февраля 2015 года в матче против «Верии» он дебютировал в греческой Суперлиге в составе последнего[4]. Летом того же года Пунгурас был арендован «Верией». 22 сентября в матче против «Панетоликоса» он дебютировал за новую команду[5]. В 2018 году Пунгурас на правах аренды перешёл в польский клуб «Арка». 22 апреля в матче против «Сандецья» он дебютировал в польской Экстраклассе[6]. По окончании аренды игрок вернулся в ПАОК. В составе клуба он дважды завоевал Кубок Греции.
Летом 2018 года Пунгуас перешёл в «Панатинаикос», подписав контракт на 3 года. 26 августа в матче против «Ксанти» он дебютировал за новую команду[7]. 3 марта 2021 года в поединке Кубка Греции против ПАС Янина Ахиллеас забил свой первый гол за «Панатинаикос»[8]. В 2022 году игрок завоевал национальный кубок.
