Меню Главная Случайная статья Настройки Пятиугольное число Материал из https://ru.wikipedia.org Пятиугольные числа — один из классов классических многоугольных чисел. Последовательность пятиугольных чисел имеет вид (последовательность A000326 в OEIS): 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477… Общая формула для ${\displaystyle n}$-го по порядку пятиугольного числа: ${\displaystyle P_{n}^{(5)}={\frac {3n^{2}-n}{2}}}$ Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Проверка на пятиугольное число 4 Квадратные пятиугольные числа 5 Примечания 6 Литература 7 Ссылки Определение Пятиугольные числа, как и все прочие классические ${\displaystyle k}$-угольные числа, можно определить как частичные суммы арифметической прогрессии, которая начинается с 1, а разность её для пятиугольных чисел равна ${\displaystyle k-2=3}$: ${\displaystyle 1+4+7+10+\dots }$ Можно также определить ${\displaystyle n}$-е пятиугольное число как сумму последовательных натуральных чисел: ${\displaystyle P_{n}^{(5)}=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+\dots +(2n-1)}$ Сумма ${\displaystyle n}$-го квадратного числа с ${\displaystyle (n-1)}$-м треугольным числом даёт ${\displaystyle n}$-е пятиугольное число: ${\displaystyle n^{2}+T_{n-1}=P_{n}^{(5)}}$ Эта теорема была впервые опубликована Никомахом («Введение в арифметику», II век)[1]. Наконец, ещё один способ определения пятиугольного числа — рекурсивный: ${\displaystyle P_{1}^{(5)}=1;\quad P_{n}^{(5)}=P_{n-1}^{(5)}+3n-2=2P_{n-1}^{(5)}-P_{n-2}^{(5)}+3}$ Свойства Пятиугольные числа тесно связаны с треугольными[1]: ${\displaystyle P_{n}^{(5)}={\frac {n(3n-1)}{2}}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}={\frac {1}{3}}T_{3n-1}}$ Если в формуле ${\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$ указать для ${\displaystyle n}$ более общую последовательность: ${\displaystyle n=0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3\dots }$ то получатся обобщённые пятиугольные числа: 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155... (последовательность A001318 в OEIS) Леонард Эйлер обнаружил обобщённые пятиугольные числа в следующем тождестве: ${\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\ldots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+\ldots }$ Степени ${\displaystyle x}$ в правой части тождества образуют последовательность обобщённых пятиугольных чисел[2]. Проверка на пятиугольное число Задача. Выяснить, является ли заданное натуральное число ${\displaystyle x>2}$ пятиугольным. Решение. Вычислим значение выражения: ${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.}$ ${\displaystyle x}$ является пятиугольным числом тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n}$ — целое число, причём номер ${\displaystyle x}$ в последовательности пятиугольных чисел равен ${\displaystyle n.}$ Квадратные пятиугольные числа Существуют числа, одновременно квадратные и пятиугольные[3]: 0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801… (последовательность A036353 в OEIS Примечания 1 2 Dickson, 2005, p. 2. Вайнштейн Ф. В. Разбиение чисел. : [арх. 9 августа 2019] // Журнал «Квант». — 1988. — № 11. Weisstein, Eric W. "Pentagonal Square Number Архивная копия от 13 ноября 2017 на Wayback Machine." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Литература Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7. Dickson L. E. Polygonal. pyramidal and figurate numbers // History of the Theory of Numbers. — New York : Dover, 2005. — Vol. 2: Diophantine Analysis. — P. 22—23. Ссылки Фигурные числа  (неопр.). Издательская группа ОСНОВА. Дата обращения: 10 февраля 2021. Weisstein, Eric W. Figurate Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. Centered Polygonal Numbe (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.