Меню Главная Случайная статья Настройки Размещение Материал из https://ru.wikipedia.org В комбинаторике размещением (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества различных n элементов. Пример № 1: ${\displaystyle \langle 1,3,2,5\rangle }$ — это 4-элементное размещение из 6-элементного множества ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$. Пример № 2: некоторые размещения элементов множества ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$ по 2: ${\displaystyle \langle 1,2\rangle }$ ${\displaystyle \langle 1,3\rangle }$ ${\displaystyle \langle 1,4\rangle }$ ${\displaystyle \langle 1,5\rangle }$ … ${\displaystyle \langle 2,1\rangle }$ ${\displaystyle \langle 2,3\rangle }$ ${\displaystyle \langle 2,4\rangle }$ … ${\displaystyle \langle 2,6\rangle }$… В отличие от сочетаний, размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы ${\displaystyle \langle 2,1,3\rangle }$ и ${\displaystyle \langle 3,2,1\rangle }$ являются различными размещениями, хотя состоят из одних и тех же элементов ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ (то есть совпадают как сочетания). Заполнить ряд - значит надо поместить на каком-нибудь месте этого ряда какой-либо объект из данного множества (причём каждый объект можно использовать всего лишь один раз). Ряд, заполненный объектами данного множества, называется размещением , т. е. мы разместили объекты на данных местах. [1] Содержание 1 Число размещений 2 Размещение с повторениями 2.1 Число размещений с повторениями 3 См. также 4 Примечания 5 Ссылки Число размещений Число размещений из n по k, обозначаемое ${\displaystyle A_{n}^{k}}$, равно убывающему факториалу: ${\displaystyle A_{n}^{k}=n^{\underline {k}}=(n)_{k}=n(n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}}$. Элементарным образом выражается через символ Похгаммера: ${\displaystyle A_{n}^{k}=(n-k+1)_{k}}$. Последнее выражение имеет естественную комбинаторную интерпретацию: каждое размещение из n по k однозначно соответствует некоторому сочетанию из n по k и некоторой перестановке элементов этого сочетания; число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$, в то время как перестановок на k элементах ровно k! штук. При k = n число размещений равно числу перестановок порядка n:[2][3][4] ${\displaystyle A_{n}^{n}=P_{n}=n!}$. Справедливо следующее утверждение:${\displaystyle A_{n}^{n-1}=A_{n}^{n}}$. Доказывается тривиально: ${\displaystyle A_{n}^{n-1}={\frac {n!}{(n-(n-1))!}}={\frac {n!}{(n-n+1)!}}=n!=A_{n}^{n}}$. Размещение с повторениями Размещение с повторениями или выборка с возвращением[5] — это размещение «предметов» в предположении, что каждый «предмет» может участвовать в размещении несколько раз. Число размещений с повторениями По правилу умножения число размещений с повторениями из n по k, обозначаемое ${\displaystyle {\bar {A}}_{n}^{k}}$, равно:[6][2][5] ${\displaystyle {\bar {A}}_{n}^{k}=n^{k}}$. Например, число вариантов 3-значного кода, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 и может повторяться, равно: ${\displaystyle {\bar {A}}_{10}^{3}=10^{3}=1000}$. Ещё один пример: размещений с повторениями из 4 элементов a, b, c, d по 2 равно 42 = 16, эти размещения следующие: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd. См. также