Меню Главная Случайная статья Настройки Разрешимая алгебра Ли Материал из https://ru.wikipedia.org Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является разрешимой, если её производный ряд заканчивается нулевой подалгеброй. Производная алгебра Ли алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является подалгеброй ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, обозначаемой ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$, которая состоит из всех линейных комбинаций скобок Ли пар элементов ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Производный ряд представляет собой последовательность подалгебр ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...}$ Если производный ряд в конечном итоге достигает нулевой подалгебры, то такая алгебра Ли называется разрешимой[1]. Производный ряд для алгебр Ли аналогичен производному ряду для коммутантных подгрупп в теории групп, а разрешимые алгебры Ли являются аналогами разрешимых групп. Любая нильпотентная алгебра Ли является заведомо разрешимой, но обратное неверно. Разрешимые алгебры Ли и полупростые алгебры Ли образуют два обширных и в целом дополняющих друг друга класса, как показывает разложение Леви. Разрешимые алгебры Ли – это в точности те, которые могут быть получены с помощью полупрямых произведений, начиная с нуля и добавляя по одному измерению за раз[2]. Максимальная разрешимая подалгебра называется подалгеброй Бореля. Наибольший разрешимый идеал алгебры Ли называется радикалом. Содержание 1 Характеристики 2 Характеристики 3 Полностью разрешимые алгебры Ли 4 Примеры 4.1 Абелевы алгебры Ли 4.2 Нильпотентные алгебры Ли 4.3 Разрешимая, но не расщепляемая 4.4 Контрпример 5 Разрешимые группы Ли 6 Смотрите также 7 Примечания 8 Литература 9 Внешние ссылки Характеристики Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — конечномерная алгебра Ли над полем характеристики 0. Следующие условия эквивалентны. (1) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ разрешима. (2) ${\displaystyle {\rm {ad}}({\mathfrak {g}})}$, присоединённое представление ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, разрешима. (3) Существует конечная последовательность идеалов ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad [{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}\,\,\forall i.}$ (4) ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ нильпотентна[3]. (5) Для ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n}$ -мерном пространстве существует конечная последовательность подалгебр ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{n}=0,\quad \operatorname {dim} {\mathfrak {a}}_{i}/{\mathfrak {a}}_{i+1}=1\,\,\forall i,}$ с каждым ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i+1}}$ идеал в ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$[4]. Последовательность такого типа называется элементарной последовательностью . (6) Существует конечная последовательность подалгебр ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset ...{\mathfrak {g}}_{r}=0,}$ такая, что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i+1}}$ является идеалом в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}}$ является абелевым[5]. (7) Форма Киллинга ${\displaystyle B}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ удовлетворяет условию ${\displaystyle B(X,Y)=0}$ для всех Характеристики Теорема Ли утверждает, что если ${\displaystyle V}$ — конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является разрешимой алгеброй Ли, и если ${\displaystyle \pi }$ является представлением ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над ${\displaystyle V}$, то существует одновременный собственный вектор ${\displaystyle v\in V}$ эндоморфизмов ${\displaystyle \pi (X)}$ для всех элементов ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$[7]. Каждая подалгебра Ли и фактор разрешимой алгебры Ли разрешимы[8]. Дана алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и идеал ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ в нем, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ разрешима тогда и только тогда, когда оба ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ разрешимы[8][2]. Аналогичное утверждение верно для нильпотентных алгебр Ли при условии, что ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ содержится в центре. Таким образом, расширение разрешимой алгебры посредством разрешимой алгебры является разрешимым, а центральное расширение нильпотентной алгебры посредством нильпотентной алгебры является нильпотентным. Разрешимая ненулевая алгебра Ли имеет ненулевой абелев идеал – последний ненулевой член в производном ряду[2]. Если ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}}$ являются разрешимыми идеалами, то такова же ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$[1]. Следовательно, если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ конечномерно, то существует единственный разрешимый идеал ${\displaystyle {\mathfrak {r}}\subset {\mathfrak {g}}}$ содержащий все разрешимые идеалы в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ Этот идеал является радикалом ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$[2]. Разрешимая алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ имеет единственный наибольший нильпотентный идеал ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$, называемый нильрадикалом, множество всех ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ такой что ${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$ нильпотентна. Если Полностью разрешимые алгебры Ли Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ называется вполне разрешимым или расщепляемым разрешимым, если он имеет элементарную последовательность идеалов в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ от ${\displaystyle 0}$ к ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Конечномерная нильпотентная алгебра Ли полностью разрешимой, а полностью разрешимая алгебра Ли является разрешимой. Над алгебраически замкнутым полем разрешимая алгебра Ли вполне разрешима, но ${\displaystyle 3}$ -мерная вещественная алгебра Ли группы евклидовых движений плоскости является разрешимой, но не полностью разрешимой. Разрешимая алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является расщепляемо разрешимой тогда и только тогда, когда собственные значения ${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$ находятся в ${\displaystyle k}$ для всех ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$[2]. Примеры Абелевы алгебры Ли Каждая абелева алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ разрешима по определению, так как ее коммутатор ${\displaystyle [{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}]=0}$. Это включает в себя алгебру Ли диагональных матриц в ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$, которые имеют вид ${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&0&0\\0&*&0\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$ для ${\displaystyle n=3}$. Структура алгебры Ли на векторном пространстве ${\displaystyle V}$, заданная тривиальной скобкой ${\displaystyle [m,n]=0}$ для любых двух матриц ${\displaystyle m,n\in {\text{End}}(V)}$ даёт ещё один пример. Нильпотентные алгебры Ли Другой класс примеров относится к нильпотентным алгебрам Ли, поскольку присоединённое представление разрешимо. Некоторые примеры включают верхнедиагональные матрицы, например, класс матриц вида ${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}0&*&*\\0&0&*\\0&0&0\end{bmatrix}}\right\}}$ называется алгеброй Ли строго верхнетреугольных матриц. Кроме того, алгебра Ли верхнедиагональных матриц в ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ образуют разрешимую алгебру Ли. Она включает матрицы вида ${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$ и обозначается ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$ . Разрешимая, но не расщепляемая Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ - множеством матриц в форме ${\displaystyle X=\left({\begin{matrix}0&\theta &x\\-\theta &0&y\\0&0&0\end{matrix}}\right),\quad \theta ,x,y\in \mathbb {R} .}$ Тогда ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ разрешима, но не расщепляема[2]. Она изоморфна алгебре Ли группы переносов и поворотов на плоскости. Контрпример Полупростая алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$ никогда не разрешима, так как ее радикал ${\displaystyle {\text{Rad}}({\mathfrak {l}})}$, который является наибольшим разрешимым идеалом в ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$, тривиально[1]. страница 11 Разрешимые группы Ли Поскольку термин «разрешимая» в теории групп также используется для обозначения разрешимых групп, существует несколько возможных определений разрешимой группы Ли. Для группы Ли ${\displaystyle G}$ имеем завершение обычного производного ряда группы ${\displaystyle G}$ (как абстрактная группа); прекращение замыканий производного ряда; имеющий разрешимую алгебру Ли Смотрите также Критерий Картана Форма Киллинга Теорема Ли — Колчина Примечания 1 2 3 Humphreys, 1972 1 2 3 4 5 6 Knapp, 2002 Knapp, 2002 Proposition 1.39. Knapp, 2002 Proposition 1.23. Fulton, Harris, 1991 Knapp, 2002 Proposition 1.46. Knapp, 2002 Theorem 1.25. 1 2 Serre, 2001 Knapp, 2002 Proposition 1.40. Литература Representation theory. A first course /. — New York : Springer-Verlag, 1991. — Vol. 129. — ISBN 978-0-387-97527-6. Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. — New York : Springer-Verlag, 1972. — Vol. 9. — ISBN 0-387-90053-5. Knapp, A. W. Lie groups beyond an introduction. — 2nd. — Boston·Basel·Berlin : Birkhuser, 2002. — Vol. 120. — ISBN 0-8176-4259-5.. Serre, Jean-Pierre. Complex Semisimple Lie Algebras. — Berlin : Springer, 2001. — ISBN 3-5406-7827-1. Внешние ссылки Статья EoM Алгебра Ли, разрешимая Статья EoM Группа Ли, разрешимая