Меню Главная Случайная статья Настройки Распределение Коши Материал из https://ru.wikipedia.org Распределение Коши в теории вероятностей (также называемое в физике распределением Лоренца и распределением Брейта — Вигнера) — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является классическим примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии. Содержание 1 Определение 2 Функция распределения 3 Моменты 4 Другие свойства 5 Связь с другими распределениями 6 Появление в практических задачах 7 Примечания Определение Пусть распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ задаётся плотностью ${\displaystyle f_{X}(x)}$, имеющей вид: ${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]}$, где ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ — параметр сдвига; ${\displaystyle \gamma >0}$ — параметр масштаба. Тогда говорят, что ${\displaystyle X}$ имеет распределение Коши и пишут ${\displaystyle X\sim \mathrm {C} (x_{0},\gamma )}$. Если ${\displaystyle x_{0}=0}$ и ${\displaystyle \gamma =1}$, то такое распределение называется стандартным распределением Коши. Функция распределения Функция распределения Коши имеет вид: ${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {arctg} \,\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$. Она строго возрастает и имеет обратную функцию: ${\displaystyle F_{X}^{-1}(x)=x_{0}+\gamma \,\mathrm {tg} \,\left[\pi \,\left(x-{1 \over 2}\right)\right].}$ Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования. Моменты Так как интеграл Лебега ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\!x^{\alpha }f_{X}(x)\,dx}$ не определён для ${\displaystyle \alpha \geqslant 1}$, ни математическое ожидание (хотя интеграл 1-го момента в смысле главного значения равен: ${\displaystyle \lim \limits _{c\rightarrow \infty }\int \limits _{-c}^{c}x\cdot {1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\,dx=x_{0}}$ ), ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна. Другие свойства Распределение Коши бесконечно делимо. Распределение Коши устойчиво. В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {C} (0,1)}$, то ${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {C} (0,1)}$ Связь с другими распределениями Если ${\displaystyle U\sim U[0,1]}$, то ${\displaystyle x_{0}+\gamma \,\mathrm {tg} \,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim \mathrm {C} (x_{0},\gamma )}$. Если ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ — независимые нормальные случайные величины, такие что ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {N} (0,1),\;i=1,2}$, то ${\displaystyle {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \mathrm {C} (0,1)}$[1][2]. Стандартное распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента: ${\displaystyle \mathrm {C} (0,1)\equiv \mathrm {t} (1)}$. Появление в практических задачах Распределением Коши характеризуется длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс прямой, закреплённой в точке на оси ординат, если угол между прямой и осью ординат имеет равномерное распределение на интервале (; ) (то есть направление прямой изотропно на плоскости). По сути это означает следующее[1]: Если ${\displaystyle U\sim U[0,1]}$, то ${\displaystyle \pi \ \left(U-{1 \over 2}\right)\sim }$ ${\displaystyle U}$(${\displaystyle \pi /2,\pi /2}$), поэтому ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim \mathrm {C} (0,1)}$. В силу периодичности тангенса равномерность на интервале (/2; /2) одновременно означает равномерность на интервале (; ). В физике распределением Коши (называемым также формой Лоренца) описываются профили равномерно уширенных спектральных линий. Распределение Коши описывает амплитудно-частотные характеристики линейных колебательных систем в окрестности резонансных частот. Примечания 1 2 Галкин В. М., Ерофеева Л. Н., Лещева С. В. Оценки параметра распределения Коши. Труды Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева. 2014. № 2(104). С. 314 Распределение Коши Архивная копия от 29 июля 2017 на Wayback Machine // risktheory.novosyolov.com