Меню Главная Случайная статья Настройки Распределение Парето Материал из https://ru.wikipedia.org Распределение Парето в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений, являющихся степенными. Называется по имени Вилфредо Парето. Встречается при исследовании различных явлений, в частности, социальных, экономических и физических. Вне области экономики иногда называется также распределением Брэдфорда. Содержание 1 Определение 2 Моменты 3 Приложения 4 См. также 5 Примечания 6 Литература Определение Пусть случайная величина ${\displaystyle X}$ такова, что её функция распределения задаётся равенством ${\displaystyle F_{X}(x)=P(X<x)=1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k},\ \forall x\geqslant x_{\text{m}},}$ где ${\displaystyle x_{\text{m}},k>0}$. Тогда говорят, что ${\displaystyle X}$ имеет распределение Парето с параметрами ${\displaystyle x_{\text{m}}}$ и ${\displaystyle k}$. Плотность распределения Парето имеет вид ${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\dfrac {kx_{m}^{k}}{x^{k+1}}},&x\geqslant x_{m},\\[1ex]0,&x<x_{m}.\end{cases}}}$ Моменты Моменты случайной величины, имеющей распределение Парето, задаются формулой ${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {kx_{m}^{n}}{k-n}},}$ откуда, в частности, ${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {kx_{m}}{k-1}},}$ ${\displaystyle \mathrm {D} [X]=\left({\frac {x_{m}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}.}$ Приложения Вилфредо Парето изначально использовал это распределение для описания распределения благосостояния, а также распределения дохода[1]. Его «правило 20 к 80» (которое гласит: 20% популяции владеет 80% богатства) однако зависит от конкретной величины ${\displaystyle k}$, и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в его труде «Курс политической экономии» говорят, что там примерно 30% населения владеет 70% общего дохода. Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры: В лингвистике распределение Парето известно под именем закона Ципфа (для разных языков показатель степени может несколько различаться, также существует небольшое отклонение от простой степенной зависимости у самых частотных слов, однако в целом степенной закон описывает это распределение достаточно хорошо). Частными проявлениями этой закономерности можно считать: Зависимость абсолютной частоты слов (сколько всего раз каждое конкретное слово встретилось) в достаточно длинном тексте от ранга (порядкового номера при упорядочении слов по абсолютной частоте). Степенной характер остается вне зависимости от того, приводятся ли слова к начальной форме или берутся из текста как есть. Аналогичная кривая для популярности имён. Распределение размера населённых пунктов[2]. См. также Закон Парето Кривая Парето Закон Ципфа Степенной закон Примечания Pareto, Vilfredo, Cours d’conomie Politique: Nouvelle dition par G.-H. Bousquet et G. Busino, Librairie Droz, Geneva, 1964, pages 299—345. Reed, W. J., Jorgensen, M.. The Double Pareto-Lognormal Distribution — A New Parametric Model for Size Distributions (англ.) // Communications in Statistics: Theory and Methods. — 2004. — Vol. 33, iss. 8. — P. 1733—1753. — doi:10.1081/STA-120037438. Архивировано 5 марта 2016 года. Литература Артюхов В. В. Эффективность // Общая теория систем: Самоорганизация, устойчивость, разнообразие, кризисы. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — С. 60—68. — 224 с. — ISBN 978-5-397-00855-6.