Роберт начал карьеру в клубе «Вилла», в составе которого стал чемпионом Уганды. Затем выступал за УРА и эфиопский «Сент-Джордж».
Выступая за клуб из Аддис-Абебы, Одонгкара пять раз выигрывал чемпионат, дважды кубок, а также пять раз признавался лучшим голкипером первенства. В октябре 2018 Роберт перешёл в «Адама Сити»[1].
4 января 2017 года Роберт был включён в окончательную заявку для участия в Кубке африканских наций 2017[8]. На турнире в Габоне Одонгкара принял участие в одном матче своей сборной, которая вылетела после группового этапа[9].
